2020年中考数学复习微专题最值问题（费马点问题）

2020年中考数学复习微专题最值问题（费马点问题）

突破与提升策略

问题：在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小．

APBC

【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．

其实理论还是上面的理论，本题难点在于有3条线段，我们需要对这三条线段作一些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！

若点P满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC值最小，P点称为该三角形的费马点．

接下来讨论3个问题： （1）如何作三角形的费马点？ （2）为什么是这个点？ （3）费马点怎么考？ 一.如何作费马点

问题要从初一学到的全等说起：

（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE． （2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．

（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了） （4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．

DAAEBCBCDAEAPBCPBCEDF

在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接AP，AP平分∠DPE． 有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！

但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是∠BAC<120°，若?BAC?120? ,这个图就不是这个图了，会长成这个样子：

DEPA

此时CD与BE交点P点还是我们的费马点吗？显然这时候就不是了，显然P点到A、B、C距离之和大于A点到A、B、C距离之和．所以咧？是的，你想得没错，此时三角形的费马点就是A点！当然这种情况不会考的，就不多说了．

二.为什么是这个点

BC

为什么P点满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC值就会最小呢？

归根结底，还是要重组这里3条线段：PA、PB、PC的位置，而重组的方法是构造旋转！

在上图3中，如下有△ADC≌△ABE，可得：CD=BE．

DAEP

类似的手拉手，在图4中有3组，可得：AF=BE=CD．

DAEPBCBCF

更巧的是，其长度便是我们要求的PA+PB+PC的最小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟最小值这个结果，应该也是个特别的值！

接下来才是真正的证明：

考虑到∠APB=120°，∴∠APE=60°，则可以AP为边，在PE边取点Q使得PQ=AP，则△APQ是等边三角形．

△APQ、△ACE均为等边三角形，且共顶点A，故△APC≌△AQE，PC=QE． 以上两步分别转化PA=PQ，PC=QE，故PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE．

DAEQPBC

没有对比就没有差别，我们换个P点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ，同样有△APC≌△AQE，转化PA=PQ，PC=QE，

AEQPBCBPQCAE

显然，PA+PB+PC=PB+PQ+QE>BE．

还剩下第3个问题！如果说费马点以前还算是课外的拓展内容，那现在，已经有人把它搬上了中考舞台！

三.费马点怎么考？

问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC=PE．

问题解决：如图2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=42，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______．

EMABD图1PCON图2G

【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！