专题07 平面解析几何（选择题、填空题）
1．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是 A．
2 2B．1
C．2 【答案】C
D．2
【解析】因为双曲线的渐近线方程为x?y?0，所以a?b，则c?a2?b2?2a，所以双曲线的离心率e?c?2.故选C. a【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a?b，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
x2y22．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则
abC的离心率为
A．2sin40° C．
B．2cos40° D．
1
sin50?1
cos50?【答案】D
【解析】由已知可得?2bb?tan130?,??tan50?， aacsin250?sin250??cos250?1?b?2， ?e??1????1?tan50??1???22acos50?cos50?cos50??a?故选D．
x2y2c?b?【名师点睛】对于双曲线：2?2?1?a?0,b?0?，有e??1???；
aba?a?x2y2c?b?对于椭圆2?2?1?a?b?0?，有e??1???，防止记混．
aba?a?3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C的焦点为F1(?1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两
点．若|AF2|?2|F2B|，|AB|?|BF1|，则C的方程为
1
22
x2A．?y2?1
2
x2y2B．??1
32x2y2D．??1
54x2y2C．??1
43【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设F2B?n，则AF2?2n,BF1?AB?3n， 由椭圆的定义有2a?BF1?BF2?4n,?AF1?2a?AF2?2n．
4n2?9n2?9n21在△AF1B中，由余弦定理推论得cos?F1AB??．
2?2n?3n3在△AF1F2中，由余弦定理得4n?4n?2?2n?2n?2213?4，解得n?． 32x2y2?2a?4n?23,?a?3,?b?a?c?3?1?2,?所求椭圆方程为??1，故选B．
32222
法二：由已知可设F2B?n，则AF2?2n,BF1?AB?3n， 由椭圆的定义有2a?BF1?BF2?4n,?AF1?2a?AF2?2n．
?4n2?4?2?2n?2?cos?AF2F1?4n2在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得?2， 2?n?4?2?n?2?cos?BF2F1?9n又?AF2F1,?BF2F1互补，?cos?AF2F1?cos?BF2F1?0，两式消去cos?AF2F1,cos?BF2F1，得
3n2?6?11n2，解得n?3．?2a?4n?23,?a?3,?b2?a2?c2?3?1?2,?所求椭圆2x2y2方程为??1，故选B．
32【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地
1
落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
x2y2??1的一个焦点，则p= 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线y=2px（p>0）的焦点是椭圆
3pp2
A．2 C．4
B．3 D．8
【答案】D
x2y2pp2??1的一个焦点，【解析】因为抛物线y?2px(p?0)的焦点(,0)是椭圆所以3p?p?()，3pp222解得p?8，故选D．
【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p的方程，从而解出p，或者利用检验排除的方法，如p?2时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，从而得到选D．
x2y25．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设F为双曲线C：2?2?1（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以
abOF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P，Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A．2 C．2
B．3 D．5 【答案】A
【解析】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ?x轴， 又
cPQ?|OF|?c，?|PA|?,?PA为以OF为直径的圆的半径，
2c?cc??P，?,?， 2?22?222∴|OA|?c2c2c2c2222又P点在圆x?y?a上，???a，即?a,?e?2?2．
2a44?e?2，故选A．
1
【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．
x2y26．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知F是双曲线C：??1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，
45若OP=OF，则△OPF的面积为 A．
3 2 B．
5 2C．
7 2 D．
9 2【答案】B
x02y02【解析】设点P?x0,y0?，则??1①．
4522又OP?OF?4?5?3，?x0?y0?9②．
由①②得y0?2255，即y0?， 93?S△OPF?故选B．
1155OF?y0??3??， 2232【名师点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅.设P?x0,y0?，由OP=OF，再结合双曲线方程可解出y0，利用三角形面积公式可求出结果.
1
x27．【2019年高考北京卷文数】已知双曲线2?y2?1（a>0）的离心率是5，则a=
aA．6
B．4
C．2 【答案】D
D．
1 2【解析】∵双曲线的离心率e?c?5，c?a2?1， a1a2?1∴?5，解得a?，
2a故选D.
【名师点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a，b，c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．【2019年高考天津卷文数】已知抛物线y?4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线
2x2y2?2?1(a?0,b?0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|?4|OF|（O为原点），则双曲2ab线的离心率为 A．2 C．2 【答案】D
【解析】抛物线y?4x的准线l的方程为x??1， 双曲线的渐近线方程为y??则有A(?1,),B(?1,?)，
2B．3 D．5
bx， abbaa2b2b?4，b?2a， ∴AB?，
aaca2?b2∴e???5. aa故选D.
【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度.解答时，
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