五年高考真题(数学理) 9.2 圆与方程及直线与圆的位置关系

第二节 圆与方程及直线与圆的位置关系

考点一 圆的方程

1．(2013·重庆，7)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( ) A．52－4 C．6－22

B.17－1 D.17

解析 依题意，设⊙C1关于x轴的对称圆为⊙C′， 圆心C′为(2，－3), 半径为1， ⊙C2的圆心为(3，4)，半径为3， 则(|PC′|＋|PC2|)min＝|C′C2|＝52，

∴(|PM|＋|PN|)min＝(|PC′|＋|PC2|)min－(1＋3)＝52－4，选A. 答案 A

x2y22．(2015·新课标全国Ⅰ，14)一个圆经过椭圆16＋4＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．

解析 由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点，(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2)，

35?3??3?22

令y＝0，解得x＝2，圆心为?2，0?，半径为2.故圆的标准方程为?x－2?＋y

????25

＝4.

?3?2225答案 ?x－2?＋y＝4

??

3．(2015·江苏，10)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________． 解析 直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝

（1－2）2＋（0＋1）2＝2.

故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2. 答案 (x－1)2＋y2＝2

4．(2014·陕西，12)若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为____________．

解析 因为点(1，0)关于直线y＝x对称点的坐标为(0，1)，即圆心C为(0，1)，又半径为1，∴圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1. 答案 x2＋(y－1)2＝1

5．(2011·福建，17)已知直线l：y＝x＋m，m∈R.

(1)若以点M(2，0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；

(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．

解 法一 (1)依题意，点P的坐标为(0，m)．

因为MP⊥l，所以

0－m

×1＝－1， 2－0

解得m＝2，即点P的坐标为(0，2)． 从而圆的半径r＝|MP|＝ （2－0）2＋（0－2）2＝22， 故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.

(2)因为直线l的方程为y＝x＋m， 所以直线l′的方程为y＝－x－m. ?y＝－x－m，由?2得x2＋4x＋4m＝0. ?x＝4yΔ＝42－4×4m＝16(1－m)．

①当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切； ②当m≠1时，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切． 综上，当m＝1时， 直线l′与抛物线C相切； 当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．

法二 (1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2. 依题意，所求圆与直线l： x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，

??m＝2，则?|2－0＋m|解得?

＝r，r＝22.?

?2

所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8. (2)同法一．

考点二 直线与圆、圆与圆的位置关系

1．(2015·广东，5)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )

A．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0

|0＋0＋c|解析 设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有＝5，解得c＝±5，

222＋1所以所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选D.

4＋m2＝r2，

答案 D

2．(2015·新课标全国Ⅱ，7)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|＝( ) A．26

B．8

C．46

D．10

→＝(3，－1)，BC→＝(－3，－9)，则AB→·BC→＝3×(－3)＋ 解析 由已知，得AB

→⊥BC→，即AB⊥BC，故过三点A、B、C的圆以AC

(－1)×(－9)＝0，所以AB

为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－26，y2＝－2＋26，所以|MN|＝|y1－y2|＝46，选C. 答案 C

3．(2015·重庆，8)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( ) A．2

B．42

C．6

D．210

解析 圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2，1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，|AB|＝（－4－2）2＋（－1－1）2－4＝6，选C. 答案 C

4．(2015·山东，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) 53A．－3或－5 54C．－4或－5

32B．－2或－3 43D．－3或－4 |AC|2－r2＝

解析 圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径r＝1.(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点(2，－3)且斜率k存在，∴反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.