第2讲 解三角形
1.(2018·全国Ⅱ卷,文7)在△ABC中,cos =(A)4
(B)
(C)
(D)2
,BC=1,AC=5,则AB等于( A )
解析:因为cos =,
所以cos C=2cos-1=2×
22
-1=-.
在△ABC中,由余弦定理,得AB=AC+BC-2AC·BC·cos C=5+1-2×5×1×-
22222
=32,
所以AB==4.故选A.
2.(2018·全国Ⅲ卷,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为
,则C等于( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:因为S=absin C==
=abcos C,
所以sin C=cos C,即tan C=1.
因为C∈(0,π),所以C=.故选C.
3.(2017·全国Ⅰ卷,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=
,则C等于( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:△ABC中,A+B+C=π,
sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C).
因为sin B+sin A(sin C-cos C)=0, 所以sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,
sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0, cos Asin C+sin Asin C=0, 因为sin C>0,
所以sin A+cos A=0. 所以tan A=-1,
又因为A∈(0,π),所以A=,
由正弦定理得=,
所以=,sin C=,C为锐角,
所以C=,故选B.
4.(2017·全国Ⅱ卷,文16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= .
解析:因为2bcos B=acos C+ccos A, 所以由正弦定理得
2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C) =sin B,
因为sin B≠0,
所以cos B=,B∈(0,π),
所以B=.
答案:
5.(2016·全国Ⅱ卷,文15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos
C=,a=1,则b= .
解析:由题sin A=,sin C=,
sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C
=×+×
=.
则由=得b===.
答案:
6.(2014·全国Ⅰ卷,文16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100 m,则山高MN= m.
解析:
Rt△ABC中,∠CAB=45°, BC=100 m,
所以AB=100 m,AC=100 m, 因为∠MAC=75°,∠ACM=60°,
所以∠AMC=180°-75°-60°=45°, △MAC中,根据正弦定理
=,
所以=,
所以AM=100××=100(m).
Rt△MNA中,∠MAN=60°,sin 60°=,
所以MN=AM·sin 60°=100×=150(m).
答案:150
7.(2014·全国Ⅱ卷,文17)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求C和BD;
(2)求四边形ABCD的面积. 解:(1)由题设及余弦定理得 222
BD=BC+CD-2BC·CDcos C =13-12cos C,① 222
BD=AB+DA-2AB·DAcos A =5+4cos C.②
由①②得cos C=,故C=60°,BD=(2)四边形ABCD的面积
.
S=AB·DAsin A+BC·CDsin C
==2
×1×2+×3×2sin 60° .
1.考查角度
考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用,考查利用解三角形知识解决实际问题以及某些平面图形的计算问题. 2.题型及难易度
选择题、填空题、解答题均有,难中易三种题型均有.
(对应学生用书第20~22页)
正余弦定理、三角形面积公式的应用
考向1 解一般三角形 【例1】 (1)(2018·湖南省永州市一模)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若2sin
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