在△ABC中,2R==,
同理PA=sin θ,PB=sin-θ,
PC=sin+θ,
则S△PAB+S△PBC=PB×(PA+PC)
=sin-θsin θ+sin+θ
=cos θ-sin θsin θ+cos θ
=sin 2θ+cos 2θ
=sin2θ+.
当θ=时,S△PAB+S△PBC的最大值为.
答案:(1)B (2)
根据正弦定理把三角形中的边使用一个角的三角函数表示出来,代入求解目标,把求解目标化为该角的三角函数式,利用三角恒等变换把求解目标化为可以使用三角函数性质得出其最值或者取值范围的形式,得出其最值或者取值范围. 考向2 三角形中的三角函数求值
【例5】 (1)(2018·天津市滨海新区八校联考)已知在△ABC中,cosA-于( )
=,则sin 2A等
(A)- (B) (C) (D)-
(2)(2018·天津市滨海新区八校联考)在△ABC中,AB=①求BC的长;
,AC=3,sin A=2sin C.
②求cos2C-的值.
(1)解析:因为cosA-=,
所以cos A cos +sin A sin =,
即(cos A+sin A)=,
所以cos A+sin A=,
两边平方,得1+sin 2A=,
所以sin 2A=-.故选A.
(2)解:①在△ABC中,因为sin A=2sin C, 所以BC=2AB=2
.
②因为cos C==,
所以sin C=,
所以sin 2C=2sin Ccos C=,
cos 2C=cosC-sinC=,
22
cos2C-
=cos 2Ccos +sin 2Csin =.
根据正、余弦定理求出三角形中一些角的三角函数,把求解目标使用求出的角表示出来,再利用三角恒等变换公式求出其值. 考向3 三角函数与解三角形的交汇
【例6】 (2018·陕西省西工大附中七模)已知f(x)=(sin ωx+cos ωx)cos ωx-,其中
ω>0,若f(x)的最小正周期为4π. (1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)锐角三角形ABC中,(2a-c)cos B=bcos C,求f(A)的取值范围.
解:(1)f(x)=sin 2ωx+cos 2ωx=sin2ωx+,
因为f(x)的最小正周期为4π,
所以ω=,
所以f(x)=sinx+,
令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,
解得4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为4kπ-,4kπ+,k∈Z.
(2)因为(2a-c)cos B=bcos C,
所以(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,
整理得2sin Acos B=sin A,cos B=,B=, 因为三角形ABC是锐角三角形,
所以0 所以 所以 从三角恒等变换角度把三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)的形式解决三角函数问题(如求最小正周期、单调区间、最值等),从正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的角度求解出三角形中的元素,结合三角函数的性质解决问题,特别要注意的事项是三角形中角的范围. 【例1】 (2018·陕西咸阳5月信息专递)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=bcos C+csin B. (1)求角B; (2)若b=2,求△ABC的面积最大值. 解:(1)由已知和正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B, 因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 所以sin B=cos B, 又0° 222 (2)由余弦定理得b=a+c-2accos B, 即(2)=a+c-2accos 45°, 22 整理得a+c=8+ac. 22 又a+c≥2ac(当且仅当a=c时取等号), 所以8+ ac≥2ac,即ac≤4(2+ ), 2 2 2 所以S△ABC=acsin B≤×4(2+故△ABC面积的最大值为2【例2】 )×=2+2, +2. (2018·江苏南京师大附中考前模拟)如图,A,B,C三个警亭有直道相通,已知A在B的正北方向6千米处,C在B的正东方向6千米处. (1)警员甲从C出发,沿CA行至点P处,此时∠CBP=45°,求BP的距离; (2)警员甲从C出发沿CA前往A,警员乙从A出发沿AB前往B,两人同时出发,甲的速度为3千米/小时,乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系,乙到达B后原地等待,直到甲到达A时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米,试问两人通过对讲机能保持联系的总时长? 解:(1)在△ABP中,AB=6,∠A=60°,∠APB=75°, 由正弦定理,=,
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