|OB|等于( )
A．a B．b C．ea D．eb 答案 A
解析 如图，延长F2B交PF1于点C，在△PCF2中，由题意，得它是一个等腰三角形，|PC|＝|PF2|，B为CF2的中点，
1111
∴在△F1CF2中，有|OB|＝|CF1|＝(|PF1|－|PC|)＝(|PF1|－|PF2|)＝×2a＝a.
222212．设min{m，n}表示m，n二者中较小的一个，已知函数f(x)＝x＋8x＋14，g(x)＝
??1?x－2?
min???，log2?4x??(x>0)．若?x1∈[－5，a](a≥－4)，?x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)??2??
2
成立，则a的最大值为( )
A．－4 B．－3 C．－2 D．0 答案 C
log2?4x?，0 解析 由题意得g(x)＝??1?x－2 ??，x≥1，???2? 则g(x)max＝g(1)＝2.在同一坐标系作出函数f(x)(－5≤x≤a)和g(x)(x>0)的图象，如图所示． - 6 - 由f(x)＝2，得x＝－6或－2，∵?x1∈[－5，a]， ?x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立， ∴－4≤a≤－2，∴a的最大值为－2. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． x－y－1≤0，?? 13．已知点P(x，y)满足条件?x＋2y－1≥0， ??y≤3， 答案 34 则点P到原点O的最大距离为________． x－y－1≤0，?? 解析 画出?x＋2y－1≥0， ??y≤3 表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)， - 7 - 由? ?y＝3，? ??x＋2y－1＝0， 得? ?x＝－5，???y＝3， 由图得，当点P的坐标为(－5,3)时，点P到原点的距离最大，且最大值为25＋9＝34. ??π????π??14．函数f(x)＝?sin?x＋?＋sinx?·?sin?x＋?－sinx?的最小正周期为________，最 6?6??????? 大值为________． 1 答案 π 2 3?1??π????π??1?1 解析 f(x)＝?sin?x＋?＋sinx?·?sin?x＋?－sinx?＝?cos2x＋sin2x?＝ 6?6???????2?22?2π?2π1?cos?2x－?，∴f(x)的最小正周期为T＝＝π，最大值为. 3?22? 15．从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答) 答案 168 解析 第一类，先选1女3男，有C4C2＝8(种)，从这4人中选2人作为队长和副队长有A4＝12(种)，故有8×12＝96(种)；第二类，先选2女2男，有C4C2＝6(种)，从这4人中选2人作为队长和副队长有A4＝12(种)，故有6×12＝72(种)，根据分类加法计数原理共有96＋72＝168(种)． ∠ABC34316．如图，在△ABC中，sin＝，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，则 233△ABC的面积的最大值为________． 2 2 22 31 - 8 - 答案 32 解析 由sin∠ABC3∠ABC6 2＝3，可得cos2＝3，则sin∠ABC＝2sin∠ABC∠ABC22 2cos2＝3. 由sin∠ABC2＝33<2∠ABC2可知，0°<2<45°， 则0°<∠ABC<90°， 由同角三角函数基本关系可知，cos∠ABC＝1 3. 设AB＝x，BC＝y，AC＝3z(x>0，y>0，z>0)， 在△ABD中，由余弦定理可得， 16＋?2z?2－x2 cos∠BDA＝3 2×43， 3×2z在△CBD中，由余弦定理可得， 16＋z2－2 cos∠BDC＝ 3 y2×43， 3 ×z由∠BDA＋∠BDC＝180°， 故cos∠BDA＝－cos∠BDC， - 9 - 16162222 ＋?2z?－x＋z－y33即＝－， 43432××2z2××z33整理可得16＋6z－x－2y＝0. ① 在△ABC中，由余弦定理可知， 2 2 2 x2＋y2－2xy×＝(3z)2， 222242 则6z＝x＋y－xy， 339 12424 代入①式整理计算可得，x＋y＋xy＝16， 339由基本不等式可得， 16≥2 1242416 x×y＋xy＝xy， 3399 1 3 32 故xy≤9，当且仅当x＝32，y＝时等号成立， 2 1122 据此可知，△ABC面积的最大值为Smax＝(AB·BC)max·sin∠ABC＝×9×＝32. 223三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1* 17．(本小题满分12分)已知数列{an}满足：an≠1，an＋1＝2－(n∈N)，数列{bn}中，bnan＝ 1 ，且b1，b2，b4成等比数列． an－1 (1)求证：数列{bn}是等差数列； ?1? (2)若Sn是数列{bn}的前n项和，求数列??的前n项和Tn. ?Sn? 解 (1)证明：bn＋1－bn＝ 1111an1 －＝－＝－＝1， an＋1－1an－11an－1an－1an－1 2－－1 an∴数列{bn}是公差为1的等差数列． (2)由题意可得b2＝b1b4，即(b1＋1)＝b1(b1＋3)，∴b1＝1，∴bn＝n， ∴Sn＝ 2 2 n?n＋1? 21 1，∴＝Sn1?2?1 ＝2?－?， n?n＋1??nn＋1? 1 1 ?? Tn＝2×?1－＋－＋…＋－ nn＋1??223? ＝2×?1－ 11 ? ? 1?2n＝. n＋1??n＋1 - 10 -
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