解得t=；
②当△APM∽△ABC时，
=
，即
=
，
解得t=0（不合题意，舍去）；
综上所述，当t=时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下： 假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值． 如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC， ∴
=
，即
=
，
∴PH=t，
∴S=S△ABC﹣S△BPN， =×3×4﹣×（3﹣t）?t， =（t﹣）2+∵＞0， ∴S有最小值． 当t=时，S最小值=
．
．
（0＜t＜2.5）．
答：当t=时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是
【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值的求法以及三角形面积公式．解答（1）题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，利用相似三角形的对应边成比例解题时，务必找准对应边．
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八、解答题（共1小题，满分14分）
23．已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 AE∥BF ，QE与QF的数量关系是 QE=QF ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线． 【分析】（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；
（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；
（3）延长EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．
【解答】解：（1）如图1，
当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF， 理由是：∵Q为AB的中点， ∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°， 在△AEQ和△BFQ中
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∴△AEQ≌△BFQ， ∴QE=QF，
故答案为：AE∥BF，QE=QF；
（2）
QE=QF，
证明：延长EQ交BF于D， ∵由（1）知：AE∥BF， ∴∠AEQ=∠BDQ， 在△AEQ和△BDQ中
∴△AEQ≌△BDQ， ∴EQ=DQ， ∵∠BFE=90°， ∴QE=QF；，
（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，
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证明：延长EQ交FB于D，如图3，
∵由（1）知：AE∥BF， ∴∠AEQ=∠BDQ， 在△AEQ和△BDQ中
∴△AEQ≌△BDQ， ∴EQ=DQ， ∵∠BFE=90°， ∴QE=QF．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是求出△AEQ≌△BDQ，用了运动观点，难度适中．
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