2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填
写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式V?1sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高 3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的． １．巳知全集U?R，集合M?{x?2?x?1?2}和N?{xx?2k?1,k?1,2,?}的关系的韦恩（Ｖenn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
A．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个 ２．设z是复数，a(z)表示满足z?1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)?
Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２
３．若函数y?f(x)是函数y?a(a?0,且a?1)的反函数，其图像经过点(a,a)，则f(x)?
Ａ．log2x Ｂ．log1x Ｃ．
2xn12 Ｄ． xx22n４．巳知等比数列{an}满足an?0,n?1,2,?，且a5?a2n?5?2(n?3)，则当n?1时，
log2a1?log2a3???log2a2n?1?
Ａ．n(2n?1) Ｂ．(n?1) Ｃ．n Ｄ．(n?1)
5．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是
A
Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④
F1 6．一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3（单位：牛顿）的作用而处于
D
0FOC3 平衡状态．已知F1,F2成60角，且F1,F2的大小分别为２和４，则F3的
F2
大小为 B Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ．25 Ｄ．27 7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种
8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图2所示）．那么对于图中
2221
给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是
A．在t1时刻，甲车在乙车前面 B．t1时刻后，甲车在乙车后面 C．在t0时刻，两车的位置相同 D．t0时刻后，乙车在甲车前面
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（９～１２题）
９．随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a1,a2,?,an，则图3所示的程序框图输出的s? ，表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”） １０．若平面向量a,b满足a?b?1，a?b平行于x轴，b?(2,?1)，则
a? ．
11．巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为3，且G上2一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为 _________________ ．
12．已知离散型随机变量X的分布列如右表．若EX?0，DX?1，则a? ，b? ．
（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）若直线l1:?（s为参数）垂直，则k? ． 14．（不等式选讲选做题）不等式
?x?1?2t,?x?s,(t为参数)与直线l2:??y?2?kt.?y?1?2s.x?1x?2?1的实数解为 ．
015．(几何证明选讲选做题）如图4，点A,B,C是圆O上的点， 且AB?4,?ACB?45，则圆O的面积等于 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤， 16．(本小题满分12分）
已知向量a?(sin?,?2)与b?(1,cos?)互相垂直，其中??(0,（1）求sin?和cos?的值； （2）若sin(???)?
?2)．
10?,0???，求cos?的值． 1022
17．（本小题满分12分）
根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API数据按照区间
[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图5 （1）求直方图中x的值；
（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数； （3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.
(结果用分数表示．已知5?78125,2?128,
7732738123, ?????18253651825182591259125365?73?5）
18．（本小题满分１４分）
如图６，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为２，点Ｅ是正方形BCC1B1的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱
C1D1,AA1的中点．设点E1,G1分别是点Ｅ、Ｇ在平面DCC1D1内的正投影．
（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内 的正投影为底面边界的棱锥的体积；
（２）证明：直线FG1?平面FEE1； （３）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值
3
19．（本小题满分１４分）
已知曲线C:y?x与直线l:x?y?2?0交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xA?xB．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．
（１）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程； （２）若曲线G:x2?2ax?y2?4y?a2?
20．（本小题满分１４分）
已知二次函数y?g(x)的导函数的图像与直线y?2x平行，且y?g(x)在x??1处取得极小值
251?0与D有公共点，试求a的最小值． 25g(x)． x（１）若曲线y?f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值； （２）k(k?R)如何取值时，函数y?f(x)?kx存在零点，并求出零点． m?1(m?0)．设f(x)?
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