高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用例题与探究 北师大
版选修2-2
高手支招3综合探究
1.复合函数的定积分的求法. (1)“凑型”法
有些定积分的计算题,直接应用积分公式不好求,甚至是不能求,此时应将被积函数进行适当变形后再求解. (2)“变量代换”法
过去在求解数学问题时,我们经常运用变量代换的方法,使问题的基础环境发生转化,其中体现出来的数学思想就是等价转化思想.
在求定积分的问题上,变量代换仍有很高的价值,这样的代换主要用于“把不可直接运用积分公式的问题转化成可以直接运用积分公式的问题”. 2.分段函数的定积分的求法.
学习函数的时候,函数的解析式有用统一一个式子给出的,也有用分段的形式给出的.在积分的学习中,函数也可以用分段的形式给出.求分段函数定积分可以利用积分的可加性,将区间[a,b]上的积分按分段函数的段分成几部分积分的和.分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,即是按照原函数分段的情况分即可,无需分得过细. 3.任意曲边形面积的计算方法.
几种常见的曲边梯形面积的计算方法有几种？计算公式是什么？ (1)x型区域(如图所示):
①由一条曲线y=f(x)(其中f(x)≥0)与直线x=a,x=b(a ?af(x)dx(如图a); ?abf(x)dx|=- b②由一条曲线y=f(x)(其中f(x)≤0)与直线x=a,x=b(a ?af(x)dx(如图b); b③由两条曲线y=f(x),y=g(x)(其中f(x)≥g(x))与直线x=a,x=b(a ?a|f(x)-g(x)|dx(如图c); b 图a 图b 图c (2)y型区域(如图所示): ①由一条曲线y=f(x)(其中x≥0)与直线y=a,y=b(a ?ah(y)dy求出(如图a); 1 b ②由一条曲线y=f(x)(其中x≤0)与直线y=a,y=b(a ?abh(y)dy|=- ?ah(y)dy求出(如图b); ?|h(y)-h(y)|dy求出(如图c). 1 2 b③由两条曲线y=f(x),y=g(x)与直线y=a,y=b(a ba 图a 图b 图c 高手支招4典例精析 【例1】 计算下列定积分. (1) ?32 x?1(4x-x)dx; (2) ?20dx； 1?x2??(3)?2(x+sinx)dx;(4)22 0?cosxdx. ??2思路分析：由微积分基本定理可知,求定积分的关键是求出被积函数的一个原函数. ?3333(?1)3解：(1)?1(4x-x2)dx=(2x2-x3)|32-1=(2·3?3)-［2x(-1)2?3］=203; (2) ?2x0dx=1?x21?x2|20=( 1?22-1)=5-1; ?2?(?)2(3)?2(x+sinx)dx=(x-cosx)|2=［2-cos?］?202022-(0-1)=8+1; ??-??(4) ?22 1?cos2xx+1??22cosxdx=?2?dx= ?|?2?2224sin2x|2???=222. ??x3,x?[0,1]【例2】 求函数f(x)=???x,x?[1,2]在区间[0,3]上的积分. ???2x,x?[2,3] 2 思路分析：f(x)在[0,3]上的积分可按照f(x)的分段标准,分成[0,1],[1,2],[2,3]上三段积分的和. 解：由积分的性质知, ?033f(x)dx= ?03 1f(x)dx+ 12?12f(x)dx+ ?2f(x)dx 3= ?01xdx+ 3 ?123xdx+?2dx=?xdx+?xdx+?2xdx 2012x 12x4=4=?22+|03x132x|1+ln22|32= 14284?2-++ 433ln2ln25424. ??123ln2??sinx,0?x?,?2?4??【例3】 已知函数f(x)=?1,?x?2,求?f(x)dx. 0?2?x?1,2?x?4.??思路分析：将[0,4]上的积分分成[0, ??],[,2],[2,4]三个区间上的积分. 22解： ?04?f（x）dx= ?20sinxdx+ ??21dx+ 2?2（x-1）dx 44??x2=-cosx|+x|?+(-x）|=1+(2-)+(4-0)=7-. 222222?20【例4】 (2006山东青岛二模)已知f(x)=ax+bx+c(a≠0),且f(-1)=2,f′(0)=0, 2 ?0f（x） 1dx=-2,求a,b,c的值. 思路分析：本题主要考查函数知识间的联系,同时考查了导数、定积分等基本运算能力.解答本题的方法是:根据题设条件,列出方程组,通过解方程组求出a,b,c的值. 解：由f(1)=2得,a-b+c=2,① 又f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0,② 而 ?01f（x）dx= ?01（ax+c）dx=( 2 1131ax+cx)|=a+c, 033∴ 1a+c=-2,③ 3由①②③得a=6,b=0,c=-4. 22 【例5】 求由曲线y=x,y=x所围成图形的面积. 3 思路分析：利用定积分,按照求面积的基本步骤进行. 解：如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.由 22y=x,y=x 得出交点的横坐标x=0及x=1. 所以所求图形的面积为S= ?0x1112112xdx-?xdx=(x2-x3）|=-=. 03333032 13?a【例6】 试求曲线y=(ea+ea)和直线x=0,x=a,y=0围成的图形(如图)绕x轴旋转一圈 2x所得旋转体的体积. aa?a思路分析：虽然曲线y=(e+e)形式上比较复杂,但图已给定了,根据图形可直接用公 2式求解. xx 2222x?xa2aaxa?axaa解：因为[(e-(e+2x]′=e+2+e,所以V=π?ydx 220=π ?02aa4(e2xa+2+e?2xa?a?2a)dx=a[(ea-ea)+2x]| 0242x2x= ?2a2-2 a[(e-e)+2a]. 24?x?acost,(0≤t≤2π)的面积. ?y?bsint【例7】 求椭圆?思路分析：椭圆是中心对称图形,故只需算出第一象限内的面积,再乘以4就是整个椭圆的面积. 解：如图所示,椭圆在第一象限的面积 P= ?0aydx= ??2bsintd(acost)= 2??2bsint·(-asint)dt 2 4
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