?=ab
?20absin2t??absintdt=(t-)|2=.
02242
所以S=4P=πab.
【例8】 某电厂冷却塔外形如右下图所示,它双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A、A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径 的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点,已知AA′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.
(1)建立坐标系并写出该双曲线方程.
3
(2)求冷却塔的容积.(精确到1 m,塔壁厚度不计,π取3.14)
思路分析：应用题是高考数学的一个热点,它能考查我们的理解能力,以及数学建模能力.本题首先要理解题意,建立平面直角坐标系,将其转化为代数问题.
解：(1)如图所示,建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上,AA′的中点为坐标原点O,CC′与BB′平行于x轴.
1x2y2设双曲线方程为2-2=1(a＞0,b＞0),则a=AA′=7.
2ab又设B(11,y1),C(9,y2),
因为点B、C在双曲线上,所以有
112y12?2=1, ① 27b292y2?=1, ② 72b2由题意,知y2-y1=20.③
由①②③,得y1=-12,y2=8,b=72.
x2y2?故双曲线方程为=1; 4998 5
(2)由双曲线方程,得x=
3
2
12
y+49. 2设冷却塔的容积为V(m),则 V=π
??128xdy=π
2
81213
y+49)dy=π(y+49y)|?12. ??12268(
经计算,得V≈4.25×10(m). 33
答:冷却塔的容积为4.25×10 m. 高手支招5思考发现
1.用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x),即找被积函数的原函数.利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系,运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x).
2.利用定积分求所围成平面图形的面积,要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限.
3.实际上F(x)+c(c为常数)的导数和F(x)的导数相同,故
33
?af(x)dx可以写成\\-\\相同,但结
b果与F(b)-F(a)相同,故省略了c.
4.求一个几何体的体积与求一个曲边图形的面积一样,都是通过“分割、近似、求和、取极限”这四步方法,体现了微积分的思想.
6
相关推荐：
loading