2020年中考数学复习专题练：《圆的综合 》
1．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC． （1）求证：MN是⊙O的切线．
（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F． ①求证：FD＝FG．
②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．
2．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD?AO＝AM?AP． （1）连接OP，证明：△ADM∽△APO； （2）证明：PD是⊙O的切线；
（3）若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值．
3．已知正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE、CE、DE．
（1）如图1，求证：∠DEC+∠BEC＝180°；
（2）如图2，过点C作CF⊥CE交BE于点F，连接AF，M为AE的中点，连接DM并延长交AF于点N，求证：DN⊥AF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OM，若AB＝10，tan∠DCE＝，求OM的长．
4．△ABC内接于⊙O，D为
的中点，连接OD，交BC边于点E，且OE＝DE．
（1）如图1，求∠BAC的度数；
（2）如图2，作AF⊥BC于点F，BG⊥AC于点G，AF、BG交于点H，求证：AH＝OD； （3）如图3，在（2）的条件下，连接OH，若AC＝4OH，EF＝3，求线段GH的长．
5．如图，以点O为圆心，OE为半径作优弧EF，连接OE，OF，且OE＝3，∠EOF＝120°，在弧EF上任意取点A，B（点B在点A的顺时针方向）且使AB＝2，以AB为边向弧内作正三角形ABC．
（1）发现：不论点A在弧上什么位置，点C与点O的距离不变，点C与点O的距离是 ；点C到直线EF的最大距离是 ．
（2）思考：当点B在直线OE上时，求点C到OE的距离，在备用图1中画出示意图，并写出计算过程．
（3）探究：当BC与OE垂直或平行时，直接写出点C到OE的距离．
6．已知，AB、AC为圆O的弦，连接CO并延长，交AB于点D，且∠ADC＝2∠C；
（1）如图1，求证：AD＝CO；
（2）如图2，取弧BC上一点E，连接EB、EC、ED，且∠EDA＝∠ECA，延长EB至点F，连接FD，若∠EDF﹣∠F＝60°，求∠BDF的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若CD＝10，EF＝6
，求AC的长度．
7．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交
AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．
（1）求证：∠AED＝∠CAD；
（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG?EA； （3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝2，求EF的长．
8．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠B＝30°，OA＝2，求阴影部分的面积．（结果保留π）
9．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作⊙O的切线交AC于点E． （1）证明：DE⊥AC．
（2）若BC＝8，AD＝6，求AE的长．
10．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是弦BC上一动点（不与端点重合），过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交
于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：△DCP是等腰三
的长为多少
角形；（2）若OA＝6，∠CBA＝30°．①当OE＝EB时，求DC的长；②当时，以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形？
11．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是弧AE的中点，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F． （1）求证：GC∥AE；
（2）若sin∠EAB＝，OD＝3，求AE的长．
12．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点C为BM上一点，连接AC与⊙O交于点D，E为⊙O上一点，且满足∠EAC＝∠ACB，连接BD，BE． （1）求证：∠ABE＝2∠CBD；
（2）过点D作AB的垂线，垂足为F，若AE＝6，BF＝，求⊙O的半径长．
13．如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，点E是AB的中点，连接CE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点H．
（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由； （2）求证：AH是⊙O的切线；
（3）若AB＝6，CH＝2，则AH的长为 ．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，8），B（6，0），C（0，3），点D从点A运动到点B停止，连接CD，以CD长为直径作⊙P．
（1）若△ACD∽△AOB，求⊙P的半径； （2）当⊙P与AB相切时，求△POB的面积；
（3）连接AP、BP，在整个运动过程中，△PAB的面积是否为定值，如果是，请直接写出面积的定值，如果不是，请说明理由．
15．如图，点A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠DAP＝∠PBA． （1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠APC＝∠BPC＝60°，试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在第（2）问的条件下，若AD＝2，PD＝1，求线段AC的长．
16．如图，A，B，C，D四点都在OO上，弧AC＝弧BC，连接AB，CD、AD，∠ADC＝45°． （1）如图1，AB是⊙O的直径；
（2）如图2，过点B作BE⊥CD于点E，点F在弧AC上，连接BF交CD于点G，∠FGC＝2∠BAD，求证：BA平分∠FBE；
（3）如图3，在（2）的条件下，MN与⊙O相切于点M，交EB的延长线于点N，连接AM，若2∠MAD+∠FBA＝135°，MN＝
AB，EN＝26，求线段CD的长．
17．对于平面内⊙C和⊙C外一点P，若过点P的直线l与⊙C有两个不同的公共点M，N，点Q为直线l上的另一点，且满足点
（如图1所示），则称点Q是点P关于的密切
已知在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点P（4，0）．
（1）在点D（2，1），E（1，0），F（3，）中，是点P关于⊙O的密切点的为 ． （2）设直线l方程为y＝kx+b，如图2所示， ①k＝﹣时，求出点P关于O的密切点Q的坐标；
②⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，若⊙T上存在点P关于⊙O的密切点，直接写出t的取值范围．
18．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝6，BO＝6弧
，交AO于点D，交BO于点E．点M在优弧
，以点O为圆心，以2为半径作优
上从点D开始移动，到达点E时停止，
连接AM． （1）当AM＝4
时，判断AM与优弧
的位置关系，并加以证明； 上移动的路线长及线段AM的长；
（2）当MO∥AB时，求点M在优弧
（3）连接BM，设△ABM的面积为S，直接写出S的取值范围．
19．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE． （1）求证：△DAF≌△DCE． （2）求证：DE是⊙O的切线． （3）若BF＝2，DH＝
，求四边形ABCD的面积．
20．如图1，已知AB是⊙O的直径，点D是弧AB上一点，AD的延长线交⊙O的切线BM于点
C，点E为BC的中点，
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如图2，若DC＝4，tan∠A＝，延长OD交切线BM于点H，求DH的值； （3）如图3，若AB＝8，点F是弧AB的中点，当点D在弧AB上运动时，过F作FG⊥AD于G，连接BG，求BG的最小值．
参考答案
1．（1）证明：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠ABC＝90°； ∵∠MAC＝∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB＝90°，即MA⊥AB， ∴MN是⊙O的切线；
（2）①证明：∵D是弧AC的中点， ∴∠DBC＝∠ABD， ∵AB是直径，
∴∠CBG+∠CGB＝90°， ∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠ABD＝90°， ∵∠DBC＝∠ABD， ∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD， ∴FD＝FG；
②解：连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．
∵∠DBC＝∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB， ∴DE＝DH，
在Rt△BDE与Rt△BDH中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL）， ∴BE＝BH，
∵D是弧AC的中点， ∴AD＝DC，
在Rt△ADE与Rt△CDH中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）． ∴AE＝CH．
∴BE＝AB﹣AE＝BC+CH＝BH，即5﹣AE＝3+AE， ∴AE＝1．
2．（1）证明：连接OD、OP、CD．
∵AD?AO＝AM?AP， ∴
，∠A＝∠A，
∴△ADM∽△APO．
（2）证明：∵△ADM∽△APO， ∴∠ADM＝∠APO， ∴MD∥PO，
∴∠DOP＝∠MDO，∠POC＝∠DMO， ∵OD＝OM， ∴∠DMO＝∠MDO，
∴∠DOP＝∠POC， ∵OP＝OP，OD＝OC， ∴△ODP≌△OCP（SAS）， ∴∠ODP＝∠OCP， ∵BC⊥AC， ∴∠OCP＝90°， ∴OD⊥AP， ∴PD是⊙O的切线．
（3）解：连接CD．由（1）可知：PC＝PD，
∵AM＝MC， ∴AM＝2MO＝2R，
在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2， ∴R2+122＝9R2， ∴R＝3∴OD＝3∵∴
， ， ，MC＝6，
，
∴AP＝18，
∴DP＝AP﹣AD＝18﹣12＝6， ∵O是MC的中点， ∴
，
∴点P是BC的中点， ∴PB＝CP＝DP＝6， ∵MC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝∠CDM＝90°，
在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝12，MC＝6∴BM＝
＝
＝6
， ，
∵△BCM∽△CDM， ∴∴DM＝2
，即．
，
3．（1）证明：连接BD，OC，
∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝90°，BC＝CD， ∴BD为⊙O的直径， ∵OB＝OD， ∴OC⊥BD， ∴∠BOC＝90°，
∴∠BEC＝∠BOC＝45°，
∵正方形ABED是圆O的内接四边形， ∴∠A+∠DEB＝180°， ∴∠DEB＝90°，
∴∠DEC+∠BEC＝∠DEB+∠BEC+∠BEC＝180°；
（2）证明：如图2，延长ED至G，使ED＝DG，连接AG，
∵CE⊥CF， ∴∠ECF＝90°， ∵∠CEF＝45°， ∴∠CEF＝∠CFE＝45°， ∴CE＝CF，
∵∠BCD＝∠ECF＝90°， ∴∠BCF＝∠DCF， ∵BC＝CD，
∴△BFC≌△DEC（SAS）， ∴BF＝DE， ∵DE＝DG， ∴BF＝DG，
∵四边形ABED为圆O的内接四边形， ∴∠ABE+∠ADE＝180°， ∵∠ADE+∠ADG＝180°， ∴∠ABE＝∠ADG， ∵AB＝AD，
∴△ABF≌△ADG（SAS）， ∴∠BAF＝∠DAC，
∵∠BAF+∠FAD＝∠BAD＝90°， ∴∠DAG+∠FAD＝90°， ∴∠FAG＝90°， ∵M为AE的中点， ∴DM为△AEG的中位线，
∴DM∥AG，
∴∠DNF＝∠FAG＝90°， ∴DN⊥AF，
（3）解：如图3，连接BD，OC，过点B作BK⊥CF交CF的延长线于点K，过点B作BT⊥
AE于点T，
由（1）知∠BOC＝90°， ∴OB＝OC＝
，
由（1）知BD为⊙O的直径，在Rt△ABD中，BD＝∵
，
AB＝10，
∴∠DBE＝∠DCE，
∴tan∠DCE＝tan∠DBE＝， ∴
，设DE＝x，则BE＝7x，
＝5
在Rt△BDE中，BD＝∴∴x＝2， ∴DE＝2， ∴BF＝2， ∵∠EFC＝45°， ∴∠BFK＝∠EFC＝45°， ∴∠KBF＝∠BFK＝45°， ∴
， ，
x，
由（2）知∠BCF＝∠DCE，
∴tan∠BCF＝tan∠DCE＝， ∴∴∴
， ，
，
在Rt△ECF中，EF＝∴BE＝EF+BF＝14，
CF＝12，
∵∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°， ∴∠TBE＝∠TEB， ∴TB＝TE＝∴∴∴
∵M为AE的中点， ∴OM⊥AE， 在Rt△OME中，OM＝
＝3
．
，
， ＝
， ，
4．解：（1）连接OB，OC，如图所示：
∵OE＝DE， ∴OB＝2OE， ∴
，
∴∠OBC＝30°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝30°， ∴∠BOC＝120°，
∴∠BAC＝60°．
（2）证明：连接OA，过O做OM⊥AB，垂足为M，连接AD，如图所示：
∵∠BAC＝60°．∠AGB＝90°， ∴∠ABG＝30°， ∴
，
∵OM⊥AB， ∴
，
∴AM＝AG， ∵D为弧中点， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴OD⊥BC， ∴OD∥AF，
∴∠ODA＝∠OAD＝∠FAD， ∴∠OAM＝∠HAG， ∴△OAM≌△HAG（AAS）， ∴AH＝AO＝OD． ∴AH＝OD；
（3）连接DA，DB，DC，DH，延长AC至N，使AN＝AB，连接DN．如图所示：
由（2）可知，DO＝DH，
∵∠BAD＝∠NAD， ∴△ABD≌△AND（SAS）， ∴DN＝DB＝DC＝DO＝DH． ∴△OBD为等边三角形， ∴∠OBD＝∠ODB＝60°，
设∠HBF＝α，则∠CAF＝α，∠DAF＝30°﹣α， ∴∠ODH＝60°﹣2α，
∵四边形ABDC内接于⊙O，∠DCN＝DBA＝∠N＝60°+α， ∴∠CDN＝60°﹣2α＝∠ODH， ∴△DOH≌△DCN（SAS）， ∴OH＝CN， ∴AC+OH＝AB． 设OH＝2a， ∵AC＝4OH， ∴AC＝8a，AB＝10a，
∵∠AGB＝90°，∠ABG＝30°， ∴AG＝5a，CG＝3a， ∴BG＝∴BC＝∴
，
＝5＝2
a， a，
∵△OBD为等边三角形， ∴
，
＝
由勾股定理得：GH＝∴
，
a，
∵cos∠HBF＝cos∠HAG， ∴
＝
， ×BH＝
×4
∴BF＝a＝a，
又∵EF＝3，
∴解得∴GH＝
×，
＝
，
． ．
∴线段GH的长为
5．解：（1）如图1，连接OA、OB、OC，延长OC交AB于点G，
在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2， ∵OA＝OB，AC＝BC， ∴OC垂直平分AB， ∴AG＝AB＝1，
∴在Rt△AGC中，由勾股定理得：CG＝在Rt△AGO中，由勾股定理得：OG＝∴OC＝2
﹣
；
＝＝
＝＝2
， ，
如图2，延长CO交EF于点H，
当CO⊥EF时，点C到直线EF的距离最大，最大距离为CH的长，
∵OE＝OF，CO⊥EF， ∴CO平分∠EOF， ∵∠EOF＝120°， ∴∠EOH＝∠EOF＝60°， 在Rt△EOH中，cos∠EOH＝
，
∴cos60°＝∴OH＝， ∴CH＝CO+OH＝
＝，
，
．
．
∴点C到直线EF的最大距离是故答案为：2
﹣
；
（2）如图3，当点B在直线OE上时，
由OA＝OB，CA＝CB可知，
点O，C都在线段AB的垂直平分线上， 过点C作AB的垂线，垂足为G， 则G为AB中点，直线CG过点O． ∴由∠COM＝∠BOG，∠CMO＝∠BGO ∴△OCM∽△OBG， ∴∴
＝＝
，
， ，
．
∴CM＝
∴点C到OE的距离为
（3）如图4，当BC⊥OE时，设垂足为点M，
∵∠EOF＝120°，
∴∠COM＝180°﹣120°＝60°，
∴在Rt△COM中，sin∠COM＝∴sin60°＝∴CM＝
＝
， （2
﹣
，
CO＝）＝﹣；
如图5，当BC∥OE时，过点C作CN⊥OE，垂足为N，
∵BC∥OE，
∴∠CON＝∠GCB＝30°， ∴在Rt△CON中，sin∠CON＝∴sin30°＝
＝，
﹣
）＝
﹣
；
﹣或
﹣
．
，
∴CN＝CO＝（2
综上所述，当BC与OE垂直或平行时，点C到OE的距离为6．解：（1）如图1，连接AO，则∠DCA＝∠OAC， ∵∠DOA＝∠DCA+∠OAC＝2∠C，而∠ADC＝2∠C， ∴∠ADC＝∠DOA， ∴AD＝AO＝CO；
（2）设∠F＝x，则∠EDF＝60°+x，
∴∠FED＝180°﹣x﹣（60°+x）＝120°﹣2x，
∵∠EDA＝∠ECA，
∴∠EBD＝∠EDB＝（180°﹣120+2x）＝30°+x， ∴∠BDF＝∠EDF﹣∠EDB＝60°+x﹣30°﹣x＝30°；
（3）延长ED交圆于点G，连接OG、OA、AG、BG，作AM⊥OD于点M，作ON⊥BG于点N，
∵∠BEG＝∠BAG＝120°﹣2x，∠ADG＝∠EDB＝∠EBD＝∠AGD＝30°+x， ∴AG＝AD＝OG＝OA， ∴△OGA为等边三角形， 则∠ABG＝
AOG＝30°＝∠BDF，
∵EB＝ED，∠FED＝∠GEB， ∴△FED≌△GEB（AAS）， ∴EG＝EF＝6∴NG＝NE＝3
， ，
∵∠OAD＝∠OAG﹣∠DAG＝60°﹣（120°﹣2x）＝2x﹣60°，AD＝AO， ∴∠ADO＝∠AOD＝120°﹣x，
∴∠NDO＝180°﹣∠ADO﹣∠ADG＝180°﹣（120°﹣x）﹣（30°﹣x）＝30°， ∴ON＝OD＝DM＝OM＝a， ∴OC＝OG＝10﹣2a，
在Rt△NOG中，由勾股定理得：（10﹣2a）2+a2+（3解得：a＝1或
（舍去
）2，
，此时OC＝10﹣2a＜0），
∴CM＝10﹣1＝9，AM＝3则AC＝
，
＝12．
7．（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AC⊥AB， ∴∠CAB＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD， ∵
＝
，
∴∠AED＝∠ABD， ∴∠AED＝∠CAD；
（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点， ∴
＝
，
∴∠EDB＝∠DAE， ∵∠DEG＝∠AED， ∴△EDG∽△EAD， ∴
，
∴ED2＝EG?EA； （3）解：连接OE，
∵点E是劣弧BD的中点， ∴∠DAE＝∠EAB， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠AEO，
∴∠AEO＝∠DAE， ∴OE∥AD， ∴
，
∵BO＝BF＝OA，DE＝2， ∴
，
∴EF＝4．
8．（1）证明：∵⊙O切BC于D， ∴OD⊥BC， ∵AC⊥BC， ∴AC∥OD， ∴∠CAD＝∠ADO， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO， ∴∠OAD＝∠CAD， 即AD平分∠BAC；
（2）解：设EO与AD交于点M，连接ED．
∵∠B＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝60°， ∵OA＝OE，
∴△AEO是等边三角形， ∴AE＝OA，∠AOE＝60°， ∴AE＝AO＝OD，
又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，
∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD＝60°， ∴S△AEM＝S△DMO， ∴S阴影＝S扇形EOD＝
9．解：（1）如图，连接OD，
＝
．
∵DE是⊙O的切线， ∴∠ODE＝90°， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∵AC＝BC， ∴∠OBD＝∠A， ∴∠A＝∠ODB， ∴OD∥AC， ∴∠DEC＝90°， 即DE⊥AC． （2）连接CD， ∵BC为直径，
∴∠BDC＝∠CDA＝90°， ∴∠DEA＝∠CDA＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACD， ∴
＝
，即＝
，
∴AE＝．
10．（1）证明：连接OC，如图1，
∵CD为⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， 即∠OCB+∠BCD＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵PE⊥AB，
∴∠B+∠BPE＝90°， 而∠BPE＝∠DPC， ∴∠OCB+∠DPC＝90°， ∴∠DPC＝∠BCD， ∴DC＝DP，
∴△DCP是等腰三角形； （2）解：①如图1，连接AC， ∵AB是⊙O的直径，AB＝2AO＝12， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝30°， ∴AC＝AB＝6，
BC＝6，
Rt△PEB中，∵OE＝BE＝3，∠ABC＝30°， ∴PE＝
，PB＝2
， ﹣2
＝4
，
∴CP＝BC﹣PB＝6
∵∠DCP＝∠CPD＝∠EPB＝60°， ∴△PCD为等边三角形， ∴CD＝PC＝4
；
的长：
＝2π，
②当F是弧BC的中点，即弧FB所对的圆周角为60°时，此时以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形； 理由如下：如图2，连接OF，AC， ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°， ∵∠CBA＝30°， ∴∠A＝60°，
∴△OAC为等边三角形， ∴∠BOC＝120°，
当F是弧BC的中点时，∠BOF＝∠COF＝60°， ∴△BOF与△COF均为等边三角形， ∴OB＝OC＝CF＝BF， ∴四边形OCFB为菱形， 则当
的长为2π时，以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形．
11．（1）证明：连接OC，交AE于点H． ∵C是弧AE的中点， ∴OC⊥AE． ∵GC是⊙O的切线， ∴OC⊥GC，
∴∠OHA＝∠OCG＝90°，
∴GC∥AE；
（2）解：OC⊥AE，CD⊥AB， ∴∠OCD＝∠EAB． ∴
在Rt△CDO中，OD＝3， ∴OC＝5， ∴AB＝10，
连接BE∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°． 在Rt△AEB中， ∵∴BE＝6， ∴AE＝8．
，
．
12．解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，即∠DAB+∠DBA＝90°， ∵BM是⊙O的切线， ∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，即∠CBD+∠DBA＝90°， ∴∠DAB＝∠CBD， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝90°﹣∠BAC， ∵∠EAC＝∠ACB， ∴∠EAC＝90°﹣∠BAC ＝90°﹣（∠EAC﹣∠BAE），
∴∠BAE＝2∠EAC﹣90°， ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣（2∠EAC﹣90°） ＝2（90°﹣∠EAC） ＝2（90°﹣∠ACB） ＝2∠CAB ＝2∠CBD． ∴∠ABE＝2∠CBD；
（2）如图，连接DO并延长交AE于点G，
∵∠DOB＝2∠BAD， ∠ABE＝2∠CAB， ∴∠DOB＝∠ABE， ∴DG∥BE，
∴∠AGO＝∠AEB＝90°， ∴AG＝EG＝AE＝3， ∠AOG＝∠DOF，
OA＝OD，
∴△AOG≌△DOF（AAS） ∴DF＝AG＝3，
又OF＝OB﹣BF＝OD﹣， 在Rt△DOF中，根据勾股定理，得
OD2＝DF2+OF2，
即OD2＝32+（OD﹣）2， 解得OD＝
．
．
答：⊙O的半径长为
13．（1）解：连接AO，四边形AECO是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD． ∵E是AB的中点， ∴AE＝AB． ∵CD是⊙O的直径， ∴OC＝CD． ∴AE∥OC，AE＝OC．
∴四边形AECO为平行四边形．
（2）证明：由（1）得，四边形AECO为平行四边形， ∴AO∥EC
∴∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC． ∵OF＝OC ∴∠OCF＝∠OFC． ∴∠AOD＝∠AOF．
∵在△AOD和△AOF中，AO＝AO，∠AOD＝∠AOF，OD＝OF ∴△AOD≌△AOF（SAS）． ∴∠ADO＝∠AFO． ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADO＝90°．
∴∠AFO＝90°，即AH⊥OF． ∵点F在⊙O上， ∴AH是⊙O的切线．
（3）∵CD为⊙O的直径，∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴AD，BC为⊙O的切线， 又∵AH是⊙O的切线， ∴CH＝FH，AD＝AF， 设BH＝x， ∵CH＝2， ∴BC＝2+x， ∴BC＝AD＝AF＝2+x， ∴AH＝AF+FH＝4+x，
在Rt△ABH中，∵AB2+BH2＝AH2， ∴62+x2＝（4+x）2， 解得x＝． ∴故答案为：
． ．
14．解：（1）如图1，
∵A（0，8），B（6，0），C（0，3）， ∴OA＝8，OB＝6，OC＝3， ∴AC＝5， ∵△ACD∽△AOB，
∴∴
，
∴CD的＝，
；
∴⊙P的半径为
（2）在Rt△AOB中，OA＝8，OB＝6， ∴
＝
＝10，
如图2，当⊙P与AB相切时，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠AOB＝90°，∠CAD＝∠BAO， ∴△ACD∽△ABO， ∴即
， ，
∴AD＝4，CD＝3， ∵CD为⊙P的直径， ∴CP＝
，
过点P作PE⊥AO于点E，
∵∠PEC＝∠ADC＝90°，∠PCE＝∠ACD， ∴△CPE∽△CAD， ∴
，
即，
∴，
∴
∴△POB的面积＝
，
＝
；
（3）①如图3，若⊙P与AB只有一个交点，则⊙P与AB相切，
由（2）可知PD⊥AB，PD＝∴△PAB的面积＝
，
．
②如图4，若⊙P与AB有两个交点，设另一个交点为F，连接CF，可得∠CFD＝90°，
由（2）可得CF＝3，
过点P作PG⊥AB于点G，则DG＝则PG为△DCF的中位线，PG＝∴△PAB的面积＝
， ，
＝
．
．
综上所述，在整个运动过程中，△PAB的面积是定值，定值为15．（1）证明：先作⊙O的直径AE，连接PE， ∵AE是直径， ∴∠APE＝90°． ∴∠E+∠PAE＝90°．
又∵∠DAP＝∠PBA，∠E＝∠PBA， ∴∠DAP＝E，
∴∠DAP+∠PAE＝90°，即AD⊥AE，
∴AD是⊙O的切线；
（2）PA+PB＝PC，
证明：在线段PC上截取PF＝PB，连接BF， ∵PF＝PB，∠BPC＝60°， ∴△PBF是等边三角形， ∴PB＝BF，∠BFP＝60°， ∴∠BFC＝180°﹣∠PFB＝120°， ∵∠BPA＝∠APC+∠BPC＝120°， ∴∠BPA＝∠BFC， 在△BPA和△BFC中，
，
∴△BPA≌△BFC（AAS）， ∴PA＝FC，AB＝CB， ∴PA+PB＝PF+FC＝PC；
（3）过点D作DH⊥AB于H，由已知可得，∠DAB＝∠ACB＝60°． 在Rt△ADH中，可求得AH＝1，DH＝在Rt△BDH中，由BD＝4，DH＝
．
，所以AC＝AB＝AH+BH＝1+
．
，可求得BH＝
16．解（1）如图1，连接BD．
∵＝，
∴∠BDC＝∠ADC＝45°， ∴∠ADB＝90°， ∴AB是圆O的直径．
（2）如图2，连接OG、OD、BD．
则OA＝OD＝OB，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OBD＝∠ODB， ∴∠DOB＝∠OAD+∠ODA＝2∠BAD， ∵∠FGC＝2∠BAD， ∴∠DOB＝∠FGC＝∠BGD， ∴B、G、O、D四点共圆， ∴∠ODE＝∠OBG， ∵BE⊥CD，∠BDC＝45°， ∴∠EBD＝45°＝∠EDB， ∴∠OBE＝∠ODE＝∠OBG， ∴BA平分∠FBE．
（3）如图3，连接AC、BC、CO、DO、EO、BD．
∵AC＝BC， ∴AC＝BC， ∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，
延长CO交圆O于点K，则∠DOK＝∠OCD+∠ODC＝2∠ODC＝2∠OBE＝2∠FBA， 连接DM、OM，则∠MOD＝2∠MAD， ∵2∠MAD+∠FBA＝135°， ∴∠MOD+∠FBA＝135°， ∴2∠MOD+2∠FBA＝270°， ∴2∠MOD+∠DOK＝270°， ∵∠AOM+∠DOM+∠KOK＝270°， ∴∠AOM＝∠DOM， ∴AM＝DM，
连接MO并延长交AD于H，则∠MHA＝∠MHD＝90°，AH＝DH， 设MH与BC交于点R，连接AR，则AR＝DR， ∵∠ADC＝45°，
∴∠ARD＝∠ARC＝90°，△ADR是等腰直角三角形， ∴∠BRH＝∠ARH＝45°
∵∠ACR+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACR＝∠CBE， ∴△ACR≌△CBE（AAS）， ∴CR＝BE＝ED，
作EQ⊥MN于Q，则∠EQN＝∠EQM＝90°， 连接OE，则OE垂直平分BD， ∴OE∥AD∥MN， ∴四边形OEQM是矩形， ∴OM＝EQ，OE＝MQ， 延长DB交MN于点P， ∵∠PBN＝∠EBD＝45°， ∴∠BNP＝45°，
∴△EQN是等腰直角三角形， ∴EQ＝QN＝
EN＝13，
，AB＝2OA＝26
，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝OM═13∴BC＝∵MN＝
OC＝26， AB＝20
，
﹣13
＝7
，
∴OE＝MQ＝MN﹣QN＝20
∵∠ORE＝45°，∠EOR＝90°， ∴△OER是等腰直角三角形， ∴RE＝
OE＝14，
设BE＝CR＝x，则CE＝14+x， 在Rt△CBE中：BC2＝CE2+BE2， ∴262＝（x+14）2+x2，解得x＝10， ∴CD＝CR+RE+DE＝10+14+10＝34．
17．解：（1）当圆心在坐标原点时，直线l为y＝0时， ∵⊙O的半径为2，点P（4，0）．
∴M（2，0），N（﹣2，0），PM＝2，PN＝6，∵∴
， ＝，
＝，
设Q点坐标为（x，y），则QM＝|2﹣x|，QN＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，
∴＝，
∴|2+x|＝3|2﹣x|，
∴2+x＝6﹣3x，或2+x＝3x﹣6， ∴x＝1，或x＝4，
∴E（1，0）是点P关于⊙O的密切点． 故答案为：E．
（2）①依题意直线l：y＝kx+b过定点P（4，0）， ∵k＝﹣
∴将P（4，0）代入y＝﹣x+b得： 0＝﹣×4+b， ∴b＝， ∴y＝﹣x+．
如图，作MA⊥x轴于点A，NB垂直x轴于点B，
设M（x，﹣x+），由OM＝2得：
x2+
＝4，
∴5x2﹣4x﹣10＝0，
则M，N两点的横坐标xM，xN是方程5x2﹣4x﹣10＝0的两根， 解得xM＝∴AB＝∵
，xN＝，PA＝，
， ，PB＝
，
∴＝，＝，
∴＝，
∴HA＝，
﹣
＝1，
∴OH＝OA﹣HA＝∴Q（1，1）．
②点P关于⊙O的密切点的轨迹为切点弦ST（不含端点），如图所示：
∴﹣1≤t＜0或2＜t≤3． 18．解：（1）结论；AM与优弧
相切．
，
理由如下：∵AO＝6，OM＝2，AM＝∴OM2+AM2＝OA2， ∴∠AMO＝90°， ∴AM与优弧
相切．
（2）在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝6，BO＝6∴tan∠OAB＝
，
，
∴∠OAB＝60°，∠ABO＝30°， 当MO∥AB时，M点位置有两种情况：
Ⅰ．如解图1，过M点作MF⊥AO，交AO于F， ∴∠FOM＝60°， ∵OM＝2，
∴OF＝OM?cos60°＝2×＝1，MF＝OM?sin60°＝∴AF＝OA﹣OF＝5， ∴AM＝的弧长＝
＝
，
＝
．
＝
，
Ⅱ．如解图2，过M点作MF⊥AO，交AO延长线于F， 同理可得：∠MOF＝60°，OF＝1，MF＝∴AM＝∴.
的弧长＝
＝
＝，
上移动的路线长为时，线段AM的长＝
时，线段AM的长＝；
；
，AM＝7， ．
综上所述：当MO∥AB时，点M在优弧点M在优弧
上移动的路线长为
（3）由（2）可知∠OAB＝60°，∠ABO＝30°，AB＝12．如解图3， Ⅰ．由图可知，△ABM的AB边最小高为M在D时， ∵OD＝2，AO＝6， ∴AD＝4
∴DH1＝AD?sin∠OAB＝
，
＝
．
∴△ABM的面积为S的最小值为＝
Ⅱ．M在过O垂直于AB的直线上，△ABM的AB边的高最大，
OH2＝OA?sin∠OAB＝，
， ＝
．
＝12+18
．
∴△ABM的AB边的高最大值为OM+OH2＝2+3∴△ABM的面积为S的最大值为＝∴△ABM的面积为S取值范围为：
19．（1）证明：如图，连接DF， ∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C， ∵BF＝BE， ∴AB﹣BF＝BC﹣BE， 即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS）；
（2）由（1）知，△DAF≌△DCE，则∠DFA＝∠DEC． ∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA＝90°，∴∠DEC＝90° ∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AH， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠AHD＝∠DFA＝90°， ∴∠DFB＝90°， ∵AD＝AB，DH＝∴DB＝2DH＝2
， ，
在Rt△ADF和Rt△BDF中， ∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2， ∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2， ∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2， ∴AD2﹣（AD﹣2）2＝（2∴AD＝5． ∴AH＝
＝
＝2
×2
＝20．即四边形ABCD的面积是20．
）2﹣22，
∴S四边形ABCD＝2S△ABD＝2×
?AH＝BD?AH＝2
20．（1）证明：如图，连接OD，BD，
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠CDB＝90°， ∵BM是⊙O的切线， ∴∠ABC＝90°， ∵点E是BC的中点， ∴DE＝BC＝BE＝CE， ∴∠EDB＝∠EBD， 又∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD＝90°， 即∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE，
∴DE 是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接BD，
∵∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠CBD， ∵DC＝4，tan∠A＝，
∴tan∠CBD＝tan∠A＝∴BD＝8， ∴BC＝∴DE＝∴AB＝∴BO＝OD＝4
， ，
，
，
＝4，
又∵DE是⊙O的切线， ∴∠HDE＝90°， ∴tan∠DHE＝则
∴BH＝2x，
在Rt△BOH中，OB2+BH2＝OH2， 即∴DH＝
（3）解：如图3，连接BF，取AF中点N，构造圆N，连接NG，
；
，解得：x＝
或x＝0（舍去），
＝，
，设DH＝x，
∵FG⊥AD于点G，
∴当点D 在弧AB上运动时，点G在圆N上运动， ∴当点N、G、B三点共线时，BG有最小值， ∵AB＝8，点F是弧AB 的中点， ∴∠AFB＝90°，AF＝BF＝
，
∴NG＝NF＝， ＝
．
＝2
，
BN＝
∴BG＝BN﹣NG＝2
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