2019数学中考试卷

2019年中考数学试卷1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长；（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当点Q在CA上运动，并使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；（2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，∴QHQB81184?，∴QH=x，y=BP?QH=（10﹣x）?x=﹣x2+8x（0＜x≤3），ACAB52255②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，∵AP=x，∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC，3AQQH'14?xQH'∴，即：，解得：QH′=（14﹣x），??5ABBC106∴y=113336PB?QH′=（10﹣x）?（14﹣x）=x2﹣x+42（3＜x＜7）；225105?42?x?8x(0?x?3)??5∴y与x的函数关系式为：y=?；?3x2?36x?42(3?x?7)?5?10（3）∵AP=x，AQ=14﹣x，∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴APAQPQx14?xPQ???，即：?，ACABBC810614PQ321BC561434???解得：x=，PQ=，∴PB=10﹣x=，∴，PB3417AC9399∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；（4）存在．理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10，∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC，∴PQ是AC的垂直平分线，∴PC=AP=5，∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小，∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16．∴△BCM的周长最小值为16．2、（12分） 如图，矩形ABCD中，点P在边CD上，且与点C、 D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，PQ的中点为M.(1)求证：△ADP∽△ABQ；(2)若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x, BM 2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最小值；(3)若AD=10, AB=a， DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围。ADPMQBC解：(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90°∵∠ABC+∠ABQ=180°∴∠ABQ=∠ADP =90°∵AQ⊥AP ∴∠PAQ=90°∴∠QAB+ ∠BAP=90°又∵∠PAD+∠BAP=90°∴∠PAD=∠QAB在△ADP与△ABQ中∵?A10DxPMQB20-x??ADP??ABQ??PAD??QABNC∴△ADP∽△ABQ（2）如图，作MN⊥QC，则∠QNM=∠QCD=90°又∵∠MQN=∠PQC∴△MQN∽△PQC ∴MNQM?PCQPQM1?QP2∵点M是PQ的中点 ∴∴MNQMQN1???PCQPQC2又∵PC?DC?DP?20?x∴MN?1111PC?(20?x) QN?QC?(QB?10)2222∵△ADP∽△ABQ∴ADDP10x ∴BQ?2x??ABBQ20BQ111QC?(QB?10)?(2x?10)2221∴BN?QB?QN?2x?(2x?10)?x?52∵QN??1?2在Rt△MBN中，由勾股定理得：BM?MN?BN??(20?x)??(x?5)?2?2222即：y?52x?20x?125 4(0?x?20)当x?4即DP?4时，线段BM长的最小值?45?35.A10D8Pa (3)如图，当点PQ中点M落在AB上时，此时QB=BC=1010a由△ADP∽△ABQ得?解得：a?12.5810∴随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围为：a?12.5MQ10B10C23、如图，抛物线y?ax?bx?c关于直线x?1对称，与坐标轴交于A、B、C三点，且AB?4,点D?2、?在抛物线上，直线是一次函数y?kx?2?k?0?的图象，点O是坐标原点.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形OBDC的面积，求k的值.（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于??3?2?M、N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),由点D(2，1.5)在抛物线上，所以??a?b?c?0，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,?4a?2b?c?1.5又?b13?1，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以y??x2?x?.2a22