为等圆，则根据圆周角定理得到 AC= CD，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=32． 【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，
∵D为AB的中点， ∴OD⊥AB， 1
∴AD=BD=AB=2，
2
在Rt△OBD中，OD=OB2?BD2=(5)?2=1， ∵将弧 BC 沿BC折叠后刚好经过AB的中点D． ∴ AC和 CD所在的圆为等圆， ∴ AC= CD，
∴AC=DC， ∴AE=DE=1，
易得四边形ODEF为正方形， ∴OF=EF=1，
在Rt△OCF中，CF=CO2?OF2=(5)?1=2， ∴CE=CF+EF=2+1=3， 而BE=BD+DE=2+1=3， ∴BC=32．故答案为32．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．
37. 如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将 AB沿着弦AB折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的 AB上一
动点，连接并延长BC交⊙O于点D，点E是CD的中点，连接AC，AD，EO．则下列结论：①∠ACB=120°，②△ACD是等边三角形，③EO的最小值为1，其中正确的是 ．（请将正确答案的序号填在横线上）
︵︵2222︵︵︵︵︵︵︵
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【分析】根据折叠的性质可知，结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断①②是否正确，EO的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住E在什么轨迹上运动，便可解决问题．
【解答】解：如图1，连接OA和OB，作OF⊥AB．
由题知： AB沿着弦AB折叠，正好经过圆心O 1
∴OF=OA=OB
2
∴∠AOF=∠BOF=60° ∴∠AOB=120° ∴∠ACB=120°（同弧所对圆周角相等）
1
∠D=∠AOB=60°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）
2
∴∠ACD=180°-∠ACB=60°
∴△ACD是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形） 故，①②正确
下面研究问题EO的最小值是否是1 如图2，连接AE和EF
∵△ACD是等边三角形，E是CD中点 ∴AE⊥BD（三线合一） 又∵OF⊥AB
∴F是AB中点即，EF是△ABE斜边中线
∴AF=EF=BF即，E点在以AB为直径的圆上运动． 所以，如图3，当E、O、F在同一直线时，OE长度最小 此时，AE=EF，AE⊥EF
∵⊙O的半径是2，即OA=2，OF=1 ∴AF=3（勾股定理） ∴OE=EF-OF=AF-OF=3-1
所以，③不正确
综上所述：①②正确，③不正确．故答案为①②．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周
角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
38. 如图，将 AB沿着弦AB翻折，C为翻折后的弧上任意一点，延长AC交圆于D，连接BC．
（1）求证：BC=BD；
（2）若AC=1，CD=4， AB=120°，求弦AB的长和圆的半径．
︵︵︵第 17 页
【分析】（1）作点C关于AB的对称点C′，连接AC′，BC′．利用翻折不变性，以及圆周角定理即可解决问题；（2）连接OA，OB，作OM⊥AB于M，AH⊥BC交BC的延长线于H．解直角三角形求出AB，OA即可；
【解答】（1）证明：作点C关于AB的对称点C′，连接AC′，BC′．
由翻折不变性可知：BC=BC′，∠CAB=∠BAC′， ∴ BD= BC′，
∴BD=BC′，
∴BC=BD．
（2）解：连接OA，OB，作OM⊥AB于M，AH⊥BC交BC的延长线于H．
∵ AB=120°， 1∴∠D=×120°=60°，
2
∴∠AOB=∠ACB=2∠D=120°， ∵BC=BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC=DC=4，在Rt△ACH中， ∵∠H=90°，∠ACH=60°，AC=1，
︵︵︵31
∴CH=，AH=，
22∴AB=
AH2?BH2=(3292)?()=21， 22∵OM⊥AB， ∴AM=BM=
21，在Rt△AOM中， 2∵∠OAM=30°，∠AMO=90°， ∴OA=AMcos30°=7
【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
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39. 如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将 CD 沿CD翻折后，点A
与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC （1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
︵︵︵（3）点G为ADB 的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交 BC 于点F（F与B、
C不重合）．问GE?GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）连接OC，根据翻折的性质求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；
（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根据圆的切线的定义证明即可；
（3）连接GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根据两组角对应相
AGFG
等两三角相似求出△AGE和△FGA相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，从而
GEAG得到GE?GF=AG2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【解答】（1）解：如图，连接OC，
∵ CD 沿CD翻折后，点A与圆心O重合， 11
∴OM=OA=×2=1，CD⊥OA，
22∵OC=2，
22∴CD=2CM=2OC2?OM2=22?1=23；
︵
（2）证明：
1
∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM=CD=3，∠CMP=∠OMC=90°，
2
22∴PC=MC2?PM2=(3)?3=23，
∵OC=2，PO=2+2=4，
∴PC2+OC2=（23）2+22=16=PO2，
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