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九年级数学 圆周角和圆心角，弧的关系
教学目标 (一)知识与技能
1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用； 2、准确地运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算。 (二)过程与方法
1、通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系发展学生合情推理和演绎推理的能力。
2、通过观察图形，提高学生的识图的能力
3、通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生探究问题的兴趣。 (三)情感与价值观
1、经过探索圆周角定理的过程，发展学生的数学思考能力。
2、通过积极引导，帮助学生有意识主动探究，并能在探究中获得成功的体验。 教学重点
圆周角定理、圆周角定理的推导及运用它们解题． 教学难点
1．认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。 2．推论的灵活应用以及辅助线的添加 教学突破
让学生学会分类讨论、转换化归是教学突破的关键 教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容，制作圆形纸片 教学过程
活动1： 创设情景，引入概念
师：课件（出示圆柱形海洋馆图片） 右图是圆柱形海洋馆的俯视图．海洋馆的前侧延伸到海洋里，并用玻璃隔开，人们站在海洋馆内部，透过其中的圆弧形玻璃窗可以观看到窗外的海洋动物．
⌒表示如图是圆柱形的海洋馆横截面的示意图， AB圆弧形玻璃窗．同学甲站在圆心O的位置，同学乙站
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丁(E)乙(C)甲(O)玻璃丙(D)AB
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在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，
师：同学甲的视角∠AOB的顶点在圆心处，我们称这样的角为圆心角．同学乙的视角∠ACB、同学丙的视角∠ADB和同学丁的视角∠AEB不同于圆心角，是与圆有关的另一类角，我们称这类角为圆周角．
师：提出问题
问题1：观察∠ACB、∠ADB和∠AEB的边和顶点与圆的位置有什么共同特点？
问题2：∠ACB、∠ADB和∠AEB与∠AOB有什么区别？ 问题3：∠ACB、∠ADB和∠AEB有哪些共同点？ （教师引导学生进行探究，并关注以下问题） 1、问题的出示是否引起学生的兴趣 2、学生是否理解示意图 3、学生是否理解圆周角的定义 4、学生是否清楚了要探究的数学问题
生：这三个角的共同点有两个：①顶点都在圆周上；②两边都与圆相交． 师：评价并鼓励学生的总结给出肯定，我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
（教师板书圆周角定义，并强调定义的两个要点，学生在学案上写出圆周角的定义．）
设计意图：从生活中的实例入手，让学生经历观察、分析，抽象出图形的共同属性，得出圆周角定义，理解圆周角概念的本质．
跟踪练习：请同学们根据定义回答下面问题：在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？
（学生思考片刻之后，教师就每个图形分别请一位学生作答．）
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设计意图：为了使学生更加容易地掌握概念，此处教师并排地呈现正例和反例，可以有利于学生对本质属性与非本质进行比较．
活动2：问题探究
探究同弧所对圆周角及圆周角与圆心角的关系 师：下面我们继续研究海洋馆的问题，设想你是一名游客，甲、乙、丙、丁四位同学的位置供你选择，你认为在哪个位置看到的海洋景象范围更广一些？
预设生：（会很肯定的说）当然是同学甲的位置可以看到更广的海洋范围了．
师提出：你是如何知道的？
预设生1：因为我发现∠AOB比∠ACB、∠ADB和∠AEB都大． 预设生2：因为发现在圆内当角的顶点距离弧越近角就越大
师提出：如果在乙、丙、丁三位同学的位置中选择，哪个位置看到的海洋范围更广一些？
预设生：（看了图形想了想）三个位置看到海洋范围的大小应该是一样的． 师提出问题：1、弧AB所对的圆周角的个数有多少个？
2、弧AB所对的圆周角的度数是否发生变化？
预设生：有无数个，度数相等
师：你是怎么知道的？ 预设生：观察猜到的。
师：学习数学需要有观察、猜想但更重要的还要验证。请同学们验证你们的说法，并与同伴交流．
师提出问题：弧AB所对的圆周角与其所对的圆心角有什么关系？ （学生分组开始动手操作验证：有的借助量角器，用度量的方法进行验证；有的采用折叠重合的方法进行验证……）
预设生：(兴奋地惊叫着……)老师，我发现了：同学乙、丙、丁的视角∠ACB、∠ADB和∠AEB相等，同学甲的视角∠AOB比其他同学的视角都大，是它们的2倍!
（其他同学也都兴奋得不得了，教室里顿时一片欢腾）
设计意图：引导学生经历观察、猜想、操作、分析、验证、交流等基本数学活动，探索圆周角的性质，感知基本几何事实，初步体会两种数量关系：①同弧所对的圆周角和圆心角的关系；②同弧所对的圆周角的关系．
师：下面，老师用计算机进一步验证我们刚才所得到的结论： （教师开始在计算机上进行验证．）
B丁(E)乙(C)甲(O)玻璃丙(D)A3
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首先采用《几何画板》的度量功能，量出∠AOB、∠ACB、∠ADB和∠AEB，发现：∠AOB最大，∠ACB=∠ADB=∠AEB，接着，采用计算功能，计算∠ACB和∠AOB的比值，发现：∠ACB：∠AOB=1：2．
然后教师分别从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化：①拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；②改变圆心角的度数；③改变圆的半径大小．
设计意图：通过《几何画板》做进一步演示与验证，用几何动态的语言来研究圆周角与圆心角的关系，在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解圆周角与圆心角的关系．
师：既然这样，我们请一位同学把所发现的结论用文字语言表述一下． 预设生1：同弧所对的圆周角相等，并且都等于圆心角的一半．
预设生2：他的说法不准确，应该是：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，并且都等于这条弧所对的圆心角的一半．丢掉了“在同圆或等圆中”和“这条弧所对的”这两点．
师：前一位同学总结得很好，但后一位同学总结得更准确，我们要学习他们这种严谨治学的态度和精神．
设计意图：把直观操作与逻辑推理有机结合，使将要进行的推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续．
活动3：用分类讨论的方法证明定理
师: 为了更好地说明结论的正确性,下面我们探究其论证⌒所对的圆周方法．先请同学们在右图的⊙O中尽可能多地画AB角,并思考圆心与圆周角有哪几种位置关系?
（学生分组画图,每个小组总结所画的图形的情况，教师巡
视,在同学们所画的图形中发现圆心与圆周角的三种位置关系的例子,并在展示台上演示．）
预设生1:圆心在圆周角的一边上 预设生2,圆心在圆周角的内部, 预设生3在圆周角的外部．
师:圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）
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