2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题及参考答案（高二年级）

2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题及参考答案

（高二年级）

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

*1．数列{an}满足：a1?1,a2?3，且an?2?|an?1|?an(n?N)．记{an}前n项的

和为Sn，则S100? 89 ．

2．在△ABC中，已知?B的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，BK?32，则△ABC2的面积为

15716．

n3．设n?1则使得(a?b)的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数n00，为 98 ．

4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为 327 ．

(z?1)25．若x,y,z均为正实数，且x?y?z?1，则S?的最小值为

2xyz2223?22．

x2?y2?1的左、右焦点分别为F1,F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，6．设椭圆4?F1MF2?2?，△MF1F2的内心为I，则|MI|cos??2?3．

7．对于一切x?[?2,]，不等式ax?x?x?1?0恒成立，则实数a的取值范围为

1232?10?a??1．

8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 26 ．

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9．已知数列{an}中，a1?1,a2?1，且 4an?1?(n?1)ann?an(n?2,3,4,?)．

（1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：对一切n?N，有

*?ak2?k?1n7． 6解 （1）由已知，对n?2有

1an?1?n?ann1??，

(n?1)an(n?1)ann?1两边同除以n，得

111??， nan?1(n?1)ann(n?1)即

1111???(?)， ……………………4分 nan?1(n?1)ann?1nn?1n?1?1?11?1?1于是，????????(1?)， ????ka(k?1)ak?1kn?1?k?2?k?2?k?1k?即

111???(1?),n?2，

(n?1)ana2n?11113n?21??(1?)?，an?,n?2．

(n?1)ana2n?1n?13n?2所以

又n?1时也成立，故an?（2）当k?2，有

2ak?1,n?N*． ……………………8分 3n?211111??(?)，………………12分 2(3k?4)(3k?1)33k?43k?1(3k?2)所以n?2时，有 又n?1时，a1?1?故对一切n?N，有

*27. 6?ak2?k?1n7． ……………………16分 610．设P?x?6x?11x?3x?31，求使P为完全平方数的整数x的值． 解 P?(x?3x?1)?3(x?10)．

22432所以，当x?10时，P?131是完全平方数． ……………………5分 下证没有其它整数x满足要求．

（1）当x?10时，有P?(x?3x?1)，

又P?(x?3x)?2x?3x?31?0，所以P?(x?3x)， 从而(x?3x)?P?(x?3x?1)．

又x?Z，所以此时P不是完全平方数． ……………………10分 （2）当x?10时，有P?(x?3x?1)．令P?y,y?Z， 则|y|?|x?3x?1|，即|y|?1?|x?3x?1|， 所以 y?2|y|?1?(x?3x?1)， 即 ?3(x?10)?2|x?3x?1|?1?0．

解此不等式，得x的整数值为?2,?1,0,?3,?4,?5,?6，但它们对应的P均不是完全平方数．

综上所述，使P为完全平方数的整数x的值为10. ……………………20分

222222222222222222222x2y2??1交于A,B两点，过椭圆C的右焦点F、倾11．已知直线y?x与椭圆C：

1611斜角为?的直线l交弦AB于点P，交椭圆C于点M,N．

（1）用?表示四边形MANB的面积；

（2）求四边形MANB的面积取到最大值时直线l的方程．

解 （1）直线MN的倾斜角为?，记?MFO??，则?????，

2ab22ab2|MN|?2?2． 2222a?ccos?a?ccos?而AB与MN所成的角为

?4??，则四边形MANB面积

SMANB?21?sin??cos?．…………5分 |AB|?|MN|sin(??)?2|OA|?ab2?22224a?ccos?22?433433??，且|OA|?466， 而a?16,b?11,c?5，A点坐标为?,?999???从而，SMANB?35233sin??cos?35233sin??cos????， 229916?5cos?16?5cos?其中0???arctan433433?95或arctan433433?95????．……………10分

??433sin??cos? （2）记f(?)?，而f(?)只可能在???arctan时才,??2?16?5cos?433?95??可能取到最大值．对f(?)求导数得到：

(cos??sin?)(16?5cos2?)?(sin??cos?)(10cos?sin?)． f?(?)?22(16?5cos?)令f?(?)?0，则有

(1?tan?)(16tan2??11)?(tan??1)(10tan?)?0． ……………………15分

化简得到 16tan??6tan??21tan??11?0． 所以 (2tan??1)(8tan??tan??11)?0． 而 8tan2232??tan??11?0无实根，则tan???．

??4331,??，符合???arctan． ?2433?95??15x?． ……………………20分 2212经检验tan???故所求直线l的方程为：y??