简谐运动的能量.doc

第12讲 机械振动——简谐运动的应用 §14－5 简谐运动的能量 Energy of Simple Harmonic Vibration 引言：作简谐运动的系统，因物体有速度而具有动能，因弹簧发生形变而具有势能，动能和势能之和就是其能量。 一、简谐运动的能量 1．能量表达式 （1）推导 以弹性振子为例。假设在t时刻质点的位移为x，速度为v，则 x?Acos??t??? v??A?sin??t??? 则系统动能为：Ek?121mv?mA2?2sin2??t??? 2212122 系统势能为：Ep?kx＝kAcos??t??? 22因而系统的总能量为 E＝Ek＋Ep?考虑到?＝211mA2?2sin2??t???＋kA2cos2??t??? 22k，则 m11222 E＝mA?＝kA 22（2）结论 弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比。 （3）解释 由于系统不受外力作用，并且内力为保守力，故在简谐运动的过程中，动能与势能相互转化，总能量保持不变。 （4）说明 1）E∝A2，对任何简谐运动皆成立； 2）动能与势能都随时间作周期性变化，变化频率是位移与速度变化频率的两倍，而总能量保持不变；且总能量与位移无关。 动能Ek=E-Ep 2．能量曲线 注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程。 二、能量平均值 定义：一个随时间变化的物理量f(t)，在时间T内的平均值定义为 1 第12讲 机械振动——简谐运动的应用 1 f??f?t?dt T0因而弹簧振子在一个周期内的平均动能为 T1111 Ek??mA2?2sin2??t???dt?mA2?2?kA2 T0244因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为 T1111 Ep＝?kA2cos2??t???dt?kA2?mA2?2 T0244结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等于总能量的一半。 三、应用 1．应用1——记忆振幅公式 由能量守恒关系可得：k A2/2= mv02/2+ kx02/2 解之即得： T?v?2A＝x0??0? ???2．应用2——推导简谐运动相关方程 在忽略阻力的条件下，作简谐运动的系统只有动能和势能（弹性势能和重力势能），且二者之和保持不变，因而有 2d?Ek?Ep??0 dt将具体问题中的动能与势能表达式代入上式，经过简化后，即可得到简谐运动的微分方程及振动周期和频率。这种方法在工程实际中有着广泛的应用。 此方法对于研究非机械振动非常方便。 例1．用机械能守恒定律求弹簧振子的运动方程。 解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即 121212mv?kx?kA?C 2221dv1dxm?2v?k?2x?0 2dt2dt两边对时间求导，得 即 d2x m?v2?k?xv?0 dtd2xk?x?0 2mdtk2令?＝，则 md2x2??x?0 2dt其解为 2 第12讲 机械振动——简谐运动的应用 x?A?cos??t??? 代入守恒方程可得 A=A’ 例2．劲度系数为k、原长为l、质量为m的匀质弹簧，一端固定，另一端系一质量为M的物体，在光滑的水平面上作直线运动，求其运动方程。 解：取物体受力平衡位置O为坐标原点，向右为x轴正方向，如图所示，设m