2016年大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案

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2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．在平面直角坐标系xOy中，已知点B(0，2)，点A在x轴正半轴上且?BAO?30?。将

△OAB沿直线AB折叠得△CAB，则点C的坐标为（ ）

3) C．(3，3) D．(3，1) A．(1，3) B．(3，【答案】 B

【解答】如图，设CD?x轴于点D。

依题意，CA?OA?23，?CAO?2?BAO?60?。 所以，CD?3，AD?3，OD?3。

3)。 因此，点C的坐标为(3，2．若实数a，b满足a2?3a?2，b2?3b?2，且a?b，则(1?a2)(1?b2)?（ ） A．18 B．12 C．9 D．6 【答案】 A

【解答】依题意，a，b为方程x2?3x?2?0的两个不同实根。 因此，由韦达定理得，a?b??3，ab??2。

(1?a2)(1?b2)?(1?2?3a)(1?2?3b)?9(1?a)(1?b)?9?1?(a?b)?ab??9(1?3?2)?18。 或解：(1?a2)(1?b2)?1?a2?b2?a2b2?1?(a?b)2?2ab?a2b2?1?9?4?4?18。 3．若关于x的方程值的总和为（ ）

A．?6 B．?30 C．?32 D．?38 【答案】 D 【解答】方程

x?2x?24x?a??2?0化为2x2?4x?a?8?0 ……………… ① x?2x?2x?4x?2x?24x?a??2?0只有一个实数根，则符合条件的所有实数a的x?2x?2x?4若方程①有两个相等实根，则△?16?8(a?8)?0，a??6。

a??6时，方程①的根x1?x2??1，符合要求。

若x?2是方程①的根，则8?8?a?8?0，a??24，此时，方程①的另一个根为x??4，符合要求。

若x??2是方程①的根，则8?8?a?8?0，a??8，此时，方程①的另一个根为x?0，符合要求。

1

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所以，符合条件的a有?6，?24，?8，其总和为?38。

4．如图，在△ABC中，AB?6，BC?3，CA?7，I为△ABC的内心，连接CI并延长交AB于点D。记△CAI的面积为m， △DAI的面积为n，则

3457A． B． C． D．

2334m?（ ） nCI【答案】 C 【解答】依题意，

mIC。 ?nIDAD（第4题）

BICACBC由I为△ABC的内心知，。 ??IDADBD所以，由等比定理知，

mICACBCAC?BC7?35??????。 nIDADBDAD?DB635．已知x，y为实数，且满足x2?xy?4y2?4，记u?x2?xy?4y2的最大值为M，最小值为m，则M?m?（ ）

A．

401363164 B． C． D． 315515【答案】 C

【解答】由x2?xy?4y2?4，得x2?4y2?xy?4，u?x2?xy?4y2?2xy?4。 ∵ 5xy?4xy?(x2?4y2?4)?(x?2y)2?4??4，当且仅当x??2y，即x??y?1010210，或x?，y??时等号成立。 555210，541212∴ xy的最小值为?，u?x2?xy?4y2?2xy?4的最小值为，即m?。

555∵ 3xy?4xy?(x2?4y2?4)?4?(x?2y)2?4，当且仅当x?2y，即x?x??266，y??时等号成立。 33266，y?或33∴ xy的最大值为∴ M?m?42020，u?x2?xy?4y2?2xy?4的最大值为，即M?。 3332012136??。 3515或解：由x2?xy?4y2?4，得x2?4y2?xy?4，u?x2?xy?4y2?2xy?4。

2

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设xy?t，若x?0，则??4；x?0时，x?

2yt

，将y?代入x2?xy?4y2?4， tx

4t2得x?t?2?4，即x4?(t?4)x2?4t2?0， ……………… ①

x44由△?(t?4)2?16t2?0，解得??t?。

53将t?262104848x??x??代入方程①，解得x2?，；解得x2?，。 t??代入方程①，

353355∴ xy的最大值为

44，最小值为?。 358208122012136因此，M??4?，m???4?，M?m?。 ??33553515二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．在平面直角坐标系内有两点A(1，1)，B(2，3)，若一次函数y?kx?2的图像与线段AB有公共点，则k的取值范围为 。

【答案】 ?1?k?1 2【解答】易得直线AB对应的一次函数的解析式为y?2x?1。

?y?2x?1由?，得(k?2)x??3 ……………… ①

y?kx?2?依题意，方程①有1?x?2的解。 ∴ k?2?0，且1?或通过作图求解。

7．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，E为线段AD上一点，延长BE交AC于点F。若

BD2AE1AF?，?，则? 。 BC5AD2AC2【答案】

7?311?2，解得?1?k?。故k的取值范围为?1?k?。 k?222AFEBD（第7题）

【解答】如图，过点C作CG∥BF交AD的延长线于点G，则

AFAE?。 ACAGC又由CG∥BE，知△DGC∽△DEB。

3

∴

DGDC3??。 DEDB2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

AFEBGDC37∴ AG?AD?DG?2DE?DE?DE。

22∴

AFAEDE2???。 ACAGAG78．设x1，x2，x3，…，xn是n个互不相同的正整数，且x1?x2?x3?L?xn?2017，则n的最大值是 。

【答案】 63

【解答】依题意，x1?1，x2?2，x3?3，…，xn?n。 ∴ 2017?x1?x2?x3?L?xn?1?2?3?L?n?于是，2017?n(n?1)，n?63。 2n(n?1)。 2又当x1?1，x2?2，x3?3，…，x62?62，x63?64时，

x1?x2?x3?L?x62?x63?1?2?3?L?62?64?63?64?1?2017。 2∴ 所求n的最大值为63。

9．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E点，若

AE

? 。 AB

OA?5，则CECE【答案】

5 5AOB【解答】由AB为⊙O的直径知，AE?BC。设CE?m，则

OA?5m，AB?25m。

由条件易得△ACE∽△BAE， ∴

CEAE?，AE2?CE?EB，即AE2?mEB。 AEBE（第9题）

结合AB2?AE2?EB2，得(25m)2?mEB?EB2。

（或由射影定理得BA2?BE?BC，即(25m)2?BE?(BE?m)） ∴ EB2?mEB?20m2?0，解得EB?4m或EB??5m（舍去）。 ∴ AE?2m，

AE2m5。 ??AB25m54

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333??x?y?z?3xyz10．若正整数x，y，z满足方程组?2，则xyz的最大值为 。

??x?7(y?z)【答案】 84

【解答】由x3?y3?z3?3xyz，得

1222?x3?y3?z3?3xyz?(x?y?z)?(x?y)?(x?z)?(z?y)?0。 ??2结合x，y，z为正整数得，(x?y)2?(x?z)2?(z?y)2?0，于是x?y?z?0。 ∴ x2?7x，x?7，y?z?7。

∴ 当x?7，y?3，

z?4或x?7，y?4，z?3时，5

xyz有最大值84。