(x?1?1)(x?1?1)x (4)limx?1?1?lim ?limx?0x?0x?0xx(x?1?1)x(x?1?1) ?limx?011??1?
x?1?10?1?12(5x?4?x)(5x?4?x) (5)lim5x?4?x?lim
x?1x?1x?1(x?1)(5x?4?x) ?lim
2cosx?asinx?a22 (6)limsinx?sina?limx?ax?ax?ax?a4x?444?lim??2? x?1(x?1)(5x?4?x)x?15x?4?x5?1?4?1x?asin2?coa ?limcosx?a?lims?a?1?coas?
x?a2x?ax?a22(x2?x?x2?x)(x2?x?x2?x) (7)lim(x?x?x?x)?lim
22x???x???(x?x?x?x)22 ?lim2x2?lim?1?
x???(x2?x?x2?x)x???11(1??1?)xx
4? 求下列极限? (1)limx??1ex?
(2)limlnsinx?
x?0x (3)lim(1?1)2? x??x (4)lim(1?3tan2x)cotx?
x?0x?13?x (5)lim()2? x??6?x2x (6)limx?01?tanx?1?sinx?
2x1?sinx?x1xlim1x??x 解 (1) lime?ex???e0?1?
(2) limlnsinx?ln(limsinx)?ln1?0?
x?0x?0xx (3) lim(1?1)2?lim(1?1)xx??x??xx (4) lim(1?3tanx)x?02cot2xx??12?e?e?
1x)3tan2x3?e3?
12?lim(1?3tanx?0?2?
6?x??3x?1x?13?x?3 (5)()2?(1?)?36?x2? 因为 6?x6?x6?x?3 lim(1?)?3?e? lim?3?x?1??3?
x??x??6?x26?x2x?1?33?x2所以lim()?e2?
x??6?x(1?tanx?1?sinx)(1?sin2x?1)1?tanx?1?sinx?lim (6)lim
22x?0x?0x1?sinx?xx(1?sinx?1)(1?tanx?1?sinx)2xtanx?2sin(tanx?sinx)(1?sinx?1)2 ?lim?lim22x?0xsinx(1?tanx?1?sinx)x?0xsinx22x?(x)22?1? ?limx?02x3? ex x?0 5? 设函数f(x)??? a?x x?0 应当如何选择数a? 使得f(x)成为在(??? ??)
内的连续函数？
解 要使函数f(x)在(??? ??)内连续? 只须f(x)在x?0处连续? 即只须 limf(x)?limf(x)?f(0)?a?
x??0x??0 因为limf(x)?limex?1? limf(x)?lim(a?x)?a? 所以只须取a?1?
x??0x??0x??0x??0习题1?10
1? 证明方程x5?3x?1至少有一个根介于1和2之间? 证明 设f(x)?x5?3x?1? 则f(x)是闭区间[1? 2]上的连续函数?
因为f(1)??3? f(2)?25? f(1)f(2)?0? 所以由零点定理? 在(1? 2)内至少有一点? (1???2)? 使f(?)?0? 即x?? 是方程x5?3x?1的介于1和2之间的根? 因此方程x5?3x?1至少有一个根介于1和2之间?
2? 证明方程x?asinx?b? 其中a?0? b?0? 至少有一个正根? 并且它不超过a?b? 证明 设f(x)?asin x?b?x? 则f(x)是[0? a?b]上的连续函数? f(0)?b? f(a?b)?a sin (a?b)?b?(a?b)?a[sin(a?b)?1]?0?
若f(a?b)?0? 则说明x?a?b就是方程x?asinx?b的一个不超过a?b的根? 若f(a?b)?0? 则f(0)f(a?b)?0? 由零点定理? 至少存在一点??(0? a?b)? 使f(?)?0? 这说明x?? 也是方程x=asinx?b的一个不超过a?b的根? 总之? 方程x?asinx?b至少有一个正根? 并且它不超过a?b?
3? 设函数f(x)对于闭区间[a? b]上的任意两点x、y? 恒有|f(x)?f(y)|?L|x?y|? 其中L为正常数? 且f(a)?f(b)?0? 证明? 至少有一点??(a? b)? 使得f(?)?0? 证明 设x0为(a? b)内任意一点? 因为 0?lim|f(x)?f(x0)|?limL|x?x0|?0?
x?x0x?x0所以 lim|f(x)?f(x0)|?0?
x?x0即 limf(x)?f(x0)?
x?x0因此f(x)在(a? b)内连续?
同理可证f(x)在点a处左连续? 在点b处右连续? 所以f(x)在[a? b]上连续? 因为f(x)在[a? b]上连续? 且f(a)?f(b)?0? 由零点定理? 至少有一点??(a? b)? 使得f(?)?0?
4? 若f(x)在[a? b]上连续? a?x1?x2? ? ? ? ?xn?b? 则在[x1? xn]上至少有一点? ? 使
f(x1)?f(x2)? ? ? ? ?f(xn) f(?)??
n 证明 显然f(x)在[x1? xn]上也连续? 设M和m分别是f(x)在[x1? xn]上的最大值和最小值?
因为xi?[x1? xn](1? i?n)? 所以有m?f(xi)?M? 从而有
n?m?f(x1)?f(x2)? ? ? ? ?f(xn)?n?M?
f(x1)?f(x2)? ? ? ? ?f(xn)?M?
n由介值定理推论? 在[x1? xn]上至少有一点? 使
f(x1)?f(x2)? ? ? ? ?f(xn) f(?)??
n m? 5? 证明? 若f(x)在(??? ??)内连续? 且limf(x)存在? 则f(x)必在(??? ??)内有
x??界?
证明 令limf(x)?A? 则对于给定的??0? 存在X?0? 只要|x|?X? 就有
x?? |f(x)?A|?? ? 即A???f(x)?A?? ?
又由于f(x)在闭区间[?X? X]上连续? 根据有界性定理? 存在M?0? 使|f(x)|?M? x?[?X? X]?
取N?max{M? |A??|? |A??|}? 则|f(x)|?N? x?(??? ??)? 即f(x)在(??? ??)内有界? 6? 在什么条件下? (a? b)内的连续函数f(x)为一致连续？
总习题一
1? 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内?
(1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件? 数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件?
(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf(x)存在的________条件? limf(x)x?x0x?x0存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件?
(3) f(x)在x0的某一去心邻域内无界是limf(x)??的________条件?
x?x0x?x0limf(x)??是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件?
x?x0 (4)f(x)当x?x0时的右极限f(x0?)及左极限f(x0?)都存在且相等是limf(x)存在的________条件?
解 (1) 必要? 充分? (2) 必要? 充分? (3) 必要? 充分? (4) 充分必要?
2? 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论? 设f(x)?2x?3x?2? 则当x?0时? 有( )?
(A)f(x)与x是等价无穷小? (B)f(x)与x同阶但非等价无穷小? (C)f(x)是比x高阶的无穷小? (D)f(x)是比x低阶的无穷小?
xxxxf(x)2?3?22?13 解 因为lim?lim?lim?lim?1
x?0xx?0x?0xx?0xx ?ln2limt?ln3limu?ln2?ln3(令2x?1?t? 3x?1?u) ?
t?0ln(1?t)u?0ln(1?u)所以f(x)与x同阶但非等价无穷小? 故应选B?
3? 设f(x)的定义域是[0? 1]? 求下列函数的定义域? (1) f(ex)? (2) f(ln x)? (3) f(arctan x)? (4) f(cos x)?
解 (1)由0?ex?1得x?0? 即函数f(ex)的定义域为(??? 0]? (2) 由0? ln x?1得1?x?e ? 即函数f(ln x)的定义域为[1? e]?
(3) 由0? arctan x ?1得0?x?tan 1? 即函数f(arctan x)的定义域为[0? tan 1]? (4) 由0? cos x?1得2n????x?2n???(n?0? ?1? ?2? ? ? ?)?
22即函数f(cos x)的定义域为[2n???, n???]? (n?0? ?1? ?2? ? ? ?)? 22 4? 设
0?0 x?0?0 x ? f(x)??? g(x)??2?
x x ? 0?x x?0??求f[f(x)]? g[g(x)]? f[g(x)]? g[f(x)]?
?0 x?0 解 因为f(x)?0? 所以f[f(x)]?f(x)???
x x?0? 因为g(x)?0? 所以g[g(x)]?0?
因为g(x)?0? 所以f[g(x)]?0?
?0 x?0 因为f(x)?0? 所以g[f(x)]??f 2(x)??2?
?x x?0? 5? 利用y?sin x的图形作出下列函数的图形?
(1)y?|sin x|? (2)y?sin|x|? (3)y?2sinx?
2 6? 把半径为R的一圆形铁片? 自中心处剪去中心角为?的一扇形后围成一无底圆锥? 试将这圆锥的体积表为?的函数?
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