f(?1??x)?f(?1)10(?1??x)2?10(?1)2 ?lim?x?0?x?0?x?x2?2?x??x ?10lim?10lim(?2??x)??20? ?x?0?x?0?x 5? 证明(cos x)???sin x?
cos(x??x)?cosx 解 (cosx)??lim
?x?0?x 解 f?(?1)?lim?x?2sinx(??x)sin22 ?lim?x?0?xsin?x2]??sinx? ?lim[?sin(x??x)?x?0?x22 6? 下列各题中均假定f ?(x0)存在? 按照导数定义观察下列极限? 指出A表示什么?
f(x0??x)?f(x0)?A?
?x?0?xf(x0??x)?f(x0) 解 A?lim
?x?0?xf(x0??x)?f(x0) ??lim??f?(x0)?
??x?0??xf(x) (2)lim?A? 其中f(0)?0? 且f ?(0)存在?
x?0xf(x)f(0?x)?f(0) 解 A?lim?lim?f?(0)?
x?0xx?0xf(x0?h)?f(x0?h) (3)lim?A?
h?0hf(x0?h)?f(x0?h) 解 A?lim
h?0h[f(x0?h)?f(x0)]?[f(x0?h)?f(x0)] ?lim
h?0hf(x0?h)?f(x0)f(x0?h)?f(x0) ?lim ?limh?0h?0hh ?f ?(x0)?[?f ?(x0)]?2f ?(x0)? (1)lim 7? 求下列函数的导数? (1)y?x4?
(2)y?3x2? (3)y?x1? 6? (4)y?1?
x (5)y?1?
x2 (6)y?x35x?
232xx? (7)y?x5 解 (1)y??(x4)??4x4?1?4x3 ? (2)y??(x322)??(x3)??2x3?1?2x?3? 3321 (3)y??(x1? 6)??1?6x1? 6?1?1?6x 0? 6?
?11??11? (4)y??()??(x2)???x2??x2?
22x113 (5)y??(1)??(x?2)???2x?3? 2x (6)y??(x3516x)??(x5)??16516?1x5?16511x5?
232?11?xx166)??(x)??x?x6? (7)y??(66x5115 8? 已知物体的运动规律为s?t3(m)? 求这物体在t?2秒(s)时的速度? 解v?(s)??3t2? v|t?2?12(米/秒)?
9? 如果f(x)为偶函数? 且f(0)存在? 证明f(0)?0? 证明 当f(x)为偶函数时? f(?x)?f(x)? 所以
f(x)?f(0)f(?x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim??lim??f?(0)?
x?0x?0?x?0x?0x?0?x?0从而有2f ?(0)?0? 即f ?(0)?0? f?(0)?lim 10? 求曲线y?sin x在具有下列横坐标的各点处切线的斜率? x?2?? x???
3 解 因为y??cos x? 所以斜率分别为
k1?co2s???1? k2?cos???1?
32 11? 求曲线y?cos x上点(?, 1)处的切线方程和法线方程式?
32 解y???sin x? y?x????sin???3?
323故在点(?, 1)处? 切线方程为y?1??3(x??)? 22332法线方程为y?1??2(x??)?
233 12? 求曲线y?ex在点(0?1)处的切线方程? 解y??ex? y?|x?0?1? 故在(0? 1)处的切线方程为 y?1?1?(x?0)? 即y?x?1?
13? 在抛物线y?x2上取横坐标为x1?1及x2?3的两点? 作过这两点的割线? 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？ 解 y??2x? 割线斜率为k? 令2x?4? 得x?2?
因此抛物线y?x2上点(2? 4)处的切线平行于这条割线? 14? 讨论下列函数在x?0处的连续性与可导性? (1)y?|sin x|?
y(3)?y(1)9?1??4? 3?12??x2sin1 x?0 (2)y?? ? x? x?0?0 解 (1)因为
y(0)?0? lim?y?lim?|sinx|?lim?(?sinx)?0?
x?0x?0x?0x?0?limy?lim?|sinx|?lim?sinx?0?
x?0x?0所以函数在x?0处连续? 又因为
?(0)?lim? y?x?0y(x)?y(0)|sinx|?|sin0|x??1? ?lim??lim??sinx?0x?0x?0x?0xy(x)?y(0)|sinx|?|sin0|x?1? ?lim??lim?sinx?0x?0x?0x?0x?0x而y??(0)?y??(0)? 所以函数在x?0处不可导? ?(0)?lim? y? 解 因为limy(x)?limx2sin1?0? 又y(0)?0? 所以函数在x?0处连续? x?0x?0x 又因为
1?02xsiny(x)?y(0)1?0? x?limxsin?lim limx?0x?0x?0x?0xx所以函数在点x?0处可导? 且y?(0)?0?
? x2 x?1 15? 设函数f(x)??为了使函数f(x)在x?1处连续且可导? a? b应取什
ax?b x?1?么值？ 解 因为
lim?f(x)?lim?x2?1? lim?f(x)?lim?(ax?b)?a?b? f(1)?a?b?
x?1x?1x?1x?1所以要使函数在x?1处连续? 必须a?b?1 ? 又因为当a?b?1时
2x?1?2? ?(1)?lim f?x?1?x?1a(x?1)?a?b?1a(x?1)?(1)?lim?ax?b?1?lim? f??lim??a?
x?1x?1x?1x?1x?1x?1所以要使函数在x?1处可导? 必须a?2? 此时b??1?
? x2 x?0 16? 已知f(x)??求f??(0)及f??(0)? 又f ?(0)是否存在？
??x x?0 解 因为
f(x)?f(0)?lim??x?0??1?
x?0x?0xx2f(x)?f(0) f??(0)?lim??lim?x?0?0?
x?0x?0xx而f??(0)?f??(0)? 所以f ?(0)不存在? f??(0)?lim??sinx x?0 17? 已知f(x)??? 求f ?(x) ?
x x?0? 解 当x<0时? f(x)?sin x? f ?(x)?cos x ?
当x>0时? f(x)?x? f ?(x)?1?
f(x)?f(0) 因为 f??(0)?lim??lim?sinx?0?1?
x?0x?0xxf(x)?f(0) f??(0)?lim??lim?x?0?1? 所以f ?(0)?1? 从而
x?0x?0xx?cosx x?0 f ?(x)???
1 x?0? 18? 证明? 双曲线xy?a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2 ?
22aa 解 由xy?a得y?? k?y???2? xx 设(x0? y0)为曲线上任一点? 则过该点的切线方程为
2
y?y0??a2(x?x0)?
x02y0x0 令y?0? 并注意x0y0?a? 解得x?2?x0?2x0? 为切线在x轴上的距?
a2
22a 令x?0? 并注意x0y0?a? 解得y??y0?2y0? 为切线在y轴上的距? x02
此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为 S?1|2x0||2y0|?2|x0y0|?2a2?
2
习题 2?2
1? 推导余切函数及余割函数的导数公式? (cot x)???csc2x ? (csc x)???csc xcot x ?
cosx?cosx 解 (cotx)??(cosx)???sinx?sinx?sinxsin2x22sinx?cosx??1??cs2cx? ??22sinxsinx
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