21.(12分)
已知函数f(x)=ln(1+x)+sinx-ax,a>0. (1)当a=2时,证明:f(x)≤0;
(2)若f(x)在(-1,+∞)只有一个零点,求a.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
以直角坐标系的原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆C1和圆C2的极坐标方程分别是ρ=4cosθ和ρ=2sinθ.
(1)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的直角坐标方程;
(2)若射线OM:θ=α与圆C1的交点为O、P,与圆C2的交点为O、Q,求|OP|·|OQ|的最大值.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C的对边. (1)若a,b,c成等比数列，证明:a?b?c?(a?b?c)； (2)若a+b<2c,证明:c?2222c2?ab?a?c?c2?ab.
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2020届昆一中高三联考卷第八期联考
理科数学参考答案及评分标准
命题、审题组教师 杨昆华 张宇甜 顾先成 李春宣 王海泉 莫利琴 蔺书琴 张远雄 崔锦
杨耕耘
一、选择题 题号 答案 1 C 2 B ?i3 A 4 D 5 B 6 D 7 C 8 A 9 D 10 B 11 A 12 C 1. 解析：依题意z?e3?cos?3?isin?3?13z31?i，则??i，选C. 22i222. 解析：A?xx?3,x?N??x?3?x?3,x?N???0,1,2?，易知图中阴影部分对应的集合为AIB，AIB??0,1,2?，选B.
3. 解析：函数f?x?=ex?sinx为非奇非偶函数，排除B，C选项；当x?0时，f?0??0，所以选A.
rrrr84. 解析：由已知：a与b共线，可得x??，所以b在a方向上的投影为：
3rrrrra?b413bcosa，b=r??，
a3??选D.
ca2?b2b?2，选B． 5. 解析：因为???3， 所以e??aa2a6. 解析：由正弦定理得：sin2AsinB?sinBcos2A?2sinA，
所以sinB?(sin2A?cos2A)?2sinA，即：sinB?2sinA，所以
bsinB??2，选D． asinA11133177. 解析：i?1,S?0；S?,i?2；S??2?,i?3；S??3?,i?4；
2224428S?7115?4?,i?5，此时输出，结合选项，选C. 8216
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8. 解析：不超过18的素数有2,3,5,7,11,13,17，随机选取两个不同的数，其和等于18的情况有22，选A． 5,13和7,11两种，所以概率为2?C721A1B1C1AEC9. 解析：设BC的中点为E，则AE?平面BC1，连结B1E，则B1E?C1D，
D由三垂线定理得AB1?C1D，选D．
B10. 解析：因为f(x)?2sin(?x?)，因为??0，由已知得：??，所以??4，
424????????????????7?442由于?x??(，解得3???，选B． ?，?)，所以?444242??????3???242????11. 解析：f?x?=f?2?x?=f??x?，可推出f?x?为周期为2的函数，所以
?11??11??1?1f????f???6?=f???，选A. ?2??2??2?412. 解析：有题意可知，cos?F1BF2?74b所以cos?OBF??，令a?5t,b?4t，(t?0),2，255a2则c?3t，所以kBD选C.
二、填空题
yD?byD?by2D?bb216124???=?k???,所以kBDgkCD?，所以，BDxDxDx2Da225253ex13. 解析：因为f??x???ex?lnx，由导数的几何意义知
xk?f??1??e，故曲线f?x??ex?lnx在点?1,0?处的切线方程
为y?e?x?1?.
0?， 14. 解析：直线kx?y?k?0过定点??1，不等式组表示的区域如图：
?1?1?. 可知k的取值范围是：?，?7?14?215. 解析：由（sin??cos?）?得：2sin?cos????0，所以??(，?)，
552
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?5?sin??cos??359?52由，由?得：（sin??cos?）?1?2sin?cos??，所以sin??cos??55?sin??cos??35?5?sin??cos???25， 553?tan??11，所以tan???2， 所以tan(??)???． 541?tan?316. 解析：由题意可得，△ABD?△ACD,所以AC?CD,所以AD为三棱锥A?BCD的外接球
(x?4?x)2的直径，设AB=x，则BD?4?x，所以AD?x?(4?x)??8，所以三棱锥
2222A?BCD的外接球的半径Rmin=2，所以三棱锥A?BCD的外接球体积的最小值为
三、解答题 （一）必考题
17. 解析：（1）n?1时，a1?1
82? 3n?2时，由a1?2a2?4a3?????2n?1an?可得a1?2a2?4a3?????2n?2an?1?n(n?1) …① 2(n?1)n …② 21①-②，2n?1an?n，an?n?()n?1
211因为a1适合an?n?()n?1，所以?an?的通项公式为an?n?()n?1. ………6分
22111（2）Sn?a1?a2?????an?1?()0?2?()1?????n?()n?1， …③
2221111Sn?1?()1?2?()2?????n?()n，…④ 222211111③-④得Sn?()0?()1?????()n?1?n?()n
2222211?()n12?n?(1)n，S?4?(n?2)?(1)n?1. ………12分 Sn?n12221?2y?ee?18. 解：（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间?,?内，即??0.302,0.388?，
x?97?则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品 ， 现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数??0,1,2,3，
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