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?L(y2?z2)dx?2yzdyxdz?2,其中L为曲线x?t,y?t,z?t(0?t?1)按参数增加的
23方向进行.
解：由题意，原式? ? ?
高等数学练习题 第十章 曲线积分与曲面积分
系 专业 班 姓名 学号 第三节 格林公式及其应用
一．选择题 1．设曲线积分
?1010{(t4?t6)?4t6?3t4}dt
?(3t6?2t4)dt
1 35?L(x4?4xyp)dx?(6xp?1y2?5y4)dy与路径无关，则p? [ C ]
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 2．已知
(x?ay)dx?ydy为某函数的全微分，则a? [ D ]
(x?y)2 （A）?1 （B）0 （C）1 （D）2
12xx22 3．设L为从A(1,)沿曲线2y?x到点B(2,2)的弧段，则曲线积分?dx?2dy= [ D ]
Ly2y （A）?3 （B）二．填空题
1． 设L是由点O(0,0)到点A(1,1)的任意一段 光滑曲线，则曲线积分
3 （C）3 （D）0 2?L(1?2xy?y)dx?(x?y)dy? ?22224 32． 设曲线L为圆周x?y?9，顺时针方向，则三．计算题 1． I??L(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy? 18?
?L2(2xy3?y2cosx)dx?(1?2ysinx?3x2y2)dy，其中L为在抛物线2x??y上从点
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(0,0)到(,1)的一段弧。
2x?3xy, 解：设P(x,y)?2xy?ycosx, Q(x,y)?1?2ysin 因为
3222??P?Q??6xy2?2ycosx，所以曲线积分与路径无关。 ?y?x 于是 I?[?0(,0)2(0,0)????(,1)2?(,0)2](2xy3?y2cosx)dx?(1?2ysinx?3x2y2)dy
??(1?2y?3?1?24?y2)dy
?2? 4 2． 证明
?(3,4)(1,2)(6xy2?y3)dx?(6x2y?3xy2)dy与路径无关并计算其积分值
2322 证明：设P(x,y)?6xy?y, Q(x,y)?6xy?3xy, 因为
?P?Q?12xy?3y2?，并且连续，所以该积分与路径无关。 ?y?x 分别记 (1,2)，(3,2)， (3,4)为A,B,C
因为积分与路径无关，所以原积分等于沿AB线段的积分加沿BC线段的积分。
即，
原式??(3,2)(1,2)(6xy2?y3)dx?(6x2y?3xy2)dy??42(3,4)(3,2)(6xy2?y3)dx?(6x2y?3xy2)dy
?8?31(3x?1)dx?9?(6y?y2)dy。
?236 精品文档
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3．设f(u)是u的连续可微函数，且点，终点为(2,0)，求
?40f(u)du?A?0，L为半圆周y?2x?x2，起点为原
?Lf(x2?y2)(xdx?ydy)
2222解：设P(x,y)?x?f(x?y), Q(x,y)?y?f(x?y), 因为
若记(0,0),(2,0)分别为O,A
则原积分 =
?P?Q?2xyf?(x2?y2)?，所以该积分与路径无关。 ?y?x?OA2f(x2?y2)(xdx?ydy)
??f(x2)xdx0 ?142u?x。(令) f(u)du2?0A?2精品文档
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