(2)卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变小．
(3)圆轨道与椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加速度相同．
5
考点一 天体质量和密度的计算 1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
2
Mmv24πr2
G2＝ma向＝m2＝mωr＝m2 rrT(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G2＝mg(g表示天体表面的重力加速度)． 深化拓展 (1)在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g时，常运用GM＝gR作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来．由于这种代换的作用很大，此式通常称为黄金代换公式． (2)利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度： 在行星表面重力加速度：G2＝mg，所以g＝2. 在离地面高为h的轨道处重力加速度：G2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
2
MmRMmRGMRMmR＋h2
＝mgh，所以gh＝
GMR＋h2.
MmgR2
由于G2＝mg，故天体质量M＝，
RGMM3g天体密度ρ＝＝＝. V434πGRπR3
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
23
Mm4π24πr①由万有引力等于向心力，即G2＝m2r，得出中心天体质量M＝；
rTGT2
②若已知天体半径R，则天体的平均密度
6
3
MM3πrρ＝＝＝；
V43GT2R3
πR3
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝
3π
2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
GT例1 (2012·福建理综·16)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为
( )
mv2
A. GNNv2
C. Gm
mv4B. GNNv4D. Gm解析 设卫星的质量为m′
Mm′v2
由万有引力提供向心力，得G2＝m′
RRv2
m′＝m′g R ①
②
由已知条件：m的重力为N得
N＝mg ③
Nmv2由③得g＝，代入②得：R＝
mNmv4
代入①得M＝，故B项正确．
GN答案 B
突破训练1 (2011·江苏·7)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则
( )
v3TA．恒星的质量为
2πG4πvB．行星的质量为2
23
GTC．行星运动的轨道半径为
2π2πvD．行星运动的加速度为 vTT答案 ACD
GMmmv24π2v2rv3TvvvT解析 由2＝＝m2r得M＝＝，A对；无法计算行星的质量，B错；r＝＝＝，C
rrTG2πGω2π2π
T
7
2π2
对；a＝ωr＝ωv＝v，D对．
T考点二 卫星运行参量的比较与运算 1．卫星的动力学规律
2
Mmv24πr2
由万有引力提供向心力，G2＝ma向＝m＝mωr＝m2. rrT 8
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