2020年全国硕士研究生招生考试（数学二）--答案解析

2020年全国硕士研究生招生考试（数学二）参考答案及解析

1.D

解析：A选项可知(B选项(C选项(?x0(et?1)dt)'?ex?1~x2；

333222??x0ln(1?t)dt)'?ln(1?x)~x； sint2dt)'?sinx2cosx~x2；

sin3tdt)'?sinxsin3(1?cosx)~14x. 2sinx0D选项(2.C

解析：f(x)??1-cosx0eln(1?x)，则可疑点为x?1，x??1，x?0，x?2， x(e?1)(x?2)1x?1e?1f(x)??limf(x)， limf(x)???，lim?f(x)???，limf(x)??，limx?2x?0+x?1?x??1?2x?0? 故选C

3.A

arcsinx?221dx?arcsinx0=. 解析：?04x(1?x)14.A

解析：f(x)?xln(1?x) 5.B

6.B

0f?(x)0f?(x)f(0)f(0)?1，从而?dx??1dx，即ln?e. ?1，故由题意得?1f(x)?1f(x)f(?1)f(?1)27.C

解析：由于A是不可逆的，所以r(A)?4，又由于A12?0，所以r(A)?3，故r(A)?3，

*所以r(A)?1，所以Ax?0的基础解系中有3个向量，又因为A12?0，所以α1，α3，α4*线性无关，所以解为x?k1α1?k2α3?k3α4，故选C. 8.D

解析：由于α1，α2是A的属于1的特征向量，α3是A的属于-1的特征向量，故-α3也是

A的属于-1的特征向量，α1+α2是A的属于1的特征向量，故选D.

9.?2 t2?1d2ydy1d2y解析：?2??2 ?，2??3dxtdxtdxt?110.2?1 211y解析：

?dy?0x3?1dx??dx?01x203/211x3?1dy??x3?1??2?

220111.(??1)dx?dy 解析：dz?(y?cos(x?y))dx?(x?cos(x?y))dy?dz(0,?)?(??1)dx?dy 21?[xy?sin(x?y)]12.ega 解析13.1 解析由?+??y???2y??y?0?x得y(x)?xe所以?y(x)dx?1

0?y?0?=0，y??0?=1133?a0?g(a?y)[y?(?y)]dy??ga3

1314.a4?2a2

a0?110a1?1?11a01?10a=a00aa00a0aa1?1a=a?01?1aa1?1+a2aaaa00a0aa00a0aa?(?1)4?1a1?1

1?10?100 =a?0?(?1)4?1a1?1

?10 =?4a2?a4.

yxx11?x?k?lim?lim?lim?lim???x???xxx???xx???x???1?x15. 解：e ??1?x???1??1???x?x?x1?x?1?1?1?xln1?1?x?xb?lim?y?kx??lim??x?limxe?1?limxxln?1?????xx???x???x???ex???ee1?x??1?x????????1?11111?1???limx2??ln?1????limx2??x???e2x22e?x??x???e?xx16.解：当x?0时，令u?xt，则g?x???101xf?xt?dt??f?u?du；当x?0时，

x0g?0??f?0?，再由limx?0f?x?f?x??0，从而g?0??0.从?1及函数连续得f?0??limx?0xxf?x???f?t?dtx02x而当x?0时，g'?x??又limg?x??g?0??limx?0x.

x?0x?0?f?t?dt?limf?x??1?g?0?，从而得

0'x2x?02x2?xf?x??xf?t?dt?0?,x?02?'xg?x???.

?1,x?0??2x??xfx?ftdtftdt??????fx????'00???1?1?1?g'?0?，从?lim?又limg?x??limx?0x?0x?0??x2xx222????x'而g?x?在x?0处连续.

?fx'?3x2?y?0?16. 解：对函数关于x,y分别求导，令并两偏导数同时为零，得?'，解得2??fx?24y?x?01?x??x?0??6''''''.又fxx?6x,fxy??1,fyy?48y，在?0,0?处，AC?B2??1?0，从或???y?0?y?1??12而函数在此处不取极值；在?,?11?2?处，AC?B?3?0,A?1?0，从而函数在此处取极

?612?1?11?f?,???.

216?612?1?11?f,??.综上函数的极值为小值，且??216?612?12?22111????1x?2x??xx218解：由任意x均有2f?x??xf???，则2f???2f???，两

2xxx1????x??1?x1?2xyx?1?x?式消去f??，可解得f?x??，从而可得2，再由旋转体的体积公式21?y?x?1?x可得所求V?19 解：

??12322?xydy?2??132y21?y22dy?2???3sintdt????3?1?cos2t?dt?266???26

??Dx2?y2dxdy x2sec???4d??0sec?2sec?rrdrrcos?rsec?dr

???4d??0sec?3???4sec3?d?20其中，

??40sec3?d??0??4sec?dtan????sec?tan??4040??4sec?(sec2??1)d?0?30?2??sec?d???4sec?d??

?40?2??sec?d??lnsec??tan?403??2??4sec3?d??ln(2?1)0?112?ln(2?1)22x2?y233dxdy?2?ln(2?1)x44

2??D20

（1）证：令F(x)?f(x)?(2?x)ex，则

F(1)??e<0,F(2)??etdt?0.

122由零点定理，???(1,2)使F(?)?0 即f(?)?(2??)e?.

（2）令g(x)?lnx，由柯西中值定理，???(1,2)使

2f(2)?f(1)f?(?)?

?g(2)?g(1)g(?)f(2)e?即 ?1ln22?故f(2)?ln2?e?.

21. 设点M的坐标为(x,y)，（x?0,y?0）,则PM?y(x),PMy(x)，由已知，?y?(x),TP?TPy?(x)21PM?|TP|332???2(?1)y?2?0，为可降阶微分方程代入初始解y(0)?0，得yy有，化简得?x22y(x)dt?0所求曲线方程为y?1Cx2（C为任意大于零的常数）.

?1aa??110?????22.（1）设A=a1a B=110 ???????004???aa1?? 因为B=PAP 所以r(B)=r(A) 由于r(B)=2 所以r(A)=2

2T 故A=(2a+1)(1-a)=0 解得a??1(a?1舍去) 2（2）f(x1,x2,x3)?(x1?x2x323?)?(x2?x3)2 2242 g(y1,y2,y3)?(y1?y2)?3162(y3) 43轾2犏12-犏3犏犏010. 犏犏4犏01-犏3臌x2x3?x??12?2=y1?y2?4令?，则P=x2?x3=y3?3?x2?y2?23.（1）由于P=(α,Aα)，α10，且lα1Aα 则α与Aα不成比例，且α10，故P可逆. （2）AP=A(α,Aα)=(Aα,Aα)=(Aα,-Aα+6α)

2 即AP=P犏轾06

犏1-1臌轾06 故PAP=犏

犏1-1臌-1轾06犏 所以A:=B 犏1-1臌 B-lE=-l16-1-l=(l+3)(l-2)

故l1=2，l2=-3，故B可以有两个不同的特征值，可以相似对角化，因此A

可以相似对角化.