高中数学竞赛高斯函数

高斯函数（二）

一、常见题型与相关例题 1、 整数问题

?12??22??19872?例1、 在项数为1987的数列??,??,???,??中有多少个不同的整数？

?1987??1987??1987?2、 方程问题

方程问题主要有解方程与讨论方程的根两种题型。 例2、 解方程3x3?[x]?3。

例3、 证明方程[x]?[2x]?[22x]?[23x]?[24x]?[25x]?12345无实数解。 3、 恒等问题

这类问题主要是证明一些由[x]构成的恒等式。例如

?n??n?1??

?2???2??n(n?N).??????k??[nx]. ?n?n?1例4、（Hermite恒等式）若n是正整数，x?R，则?x??k?0例5、已知n?N?,求证：[n?n?1]?4n?1?[4n?2]?[4n?3]

4、 不等问题

不等问题主要涉及含[x]的不等式分析。此类问题一般难度较大。 例6、设x,y?R，试证：

（1）、2[]x2[]?[]y[?]x[?y;]?x?y（2）、3[]x3[]?[]y[?]x2[?y]?x?y注：与上面不等式相类似地还有 （3）、4[]x4[]?[]y[?]x2[?y]?2[x?.y]?y?x（4）、5[]x5[]?[]y[?]x3[?y]?3[x?.y]?y?xn .

例7、设x?R,n?N,试证：n[x]???k?1[kx]k?[nx].

例8、证明不等式[?]?[???]?[?]?[2?]?[2?]对任意不小于1的实数?,?

立。

例9、求所有正整数n使得min(k2??2?)?1991.

k?N?k???n?5、 求值问题

例10、若实数x满足[x?10019100]?[x?20100]?????[x?91100]?546,求[100x]的值。

例11、计算和式?[n?123n101]的值。

6、 格点问题

平面区域内的格点计数问题，往往与[x]有关，而且通过格点计数，还可以证明一些恒等式。

nnk例12、设n?N,n?2,求证：?[n]?k?2??[logk?2kn].

证明：构造平面区域D={(x,y)yx?n,x?2,y?2},并考虑D中整点的个数：

（1） 如果一列一列的数，x=2时有[n]个，x?3时有[3n]个，…，x?n时有[nn]个，

n故共有?[kn]个。

k?2（2） 如果一行一行的数，y?2时有[log2n]个，y?3时有[log3n]个，…，y?n时有

n[lognn]个，故共有?[logkn]个。

k?2综合（1）、（2），问题获证。

一般地，设函数y?f(x)在[a,b]上连续且非负，则表示平面区域a?x?b,0?y?f(x)的格点数。

特别地，有

（ⅰ）位于三角形：y?ax?b?0,c?x?d内的格点个数等于数）。

（ⅱ）设p,q为正奇数，(p,q)?1矩,形域(0,q2]?(0,p2]内的格点数等于

?a?t?b[f(t)]（t为[a,b]内的整数）

?0?x?d[ax?b]（x为整

?0?x?[q2pqx]??0?y?2[p2qpy]?p?1q?1?。 22（ⅲ）r?0,圆域x?y?r内的格点个数等于1?4[r]?822?0?x?[r?x]?4[r222r2 ]。

2（ⅳ）n?0,区域：x?0,y?0,xy?n内的格点个数等于2?0?x?n2[]?[n]。 nx对于以上结论，可通过画示意图来证明。 例如，位于由直线y?23x?12?0和0?x?10围成的三角形内的格点个数等于

34??x?10[2x3?1212121]?[?1?]?[?2?]?????[?10?]?0?0?1?2?2?3?4?4?5?6?272323232

高斯函数在数列和数论中也有极为广泛的应用，在数列和数论部分可以再得到补充。 二、练习

502 1、计算和式?[n?0305n503x]的值。

12.5 2、求函数f(x)?[12.5x2x?72x?1]? 3、解方程[。 34?]?[?](0?x?10)的值域。

4、试证对任意实数x，有?[k?0x?22k?1k]?[x]。

5、求方程[]?[1!xx2!]?????[x10!]?1001的整数解。

6、设??1?25,???,证明：对一切n?N,都有[?[?n]]?[?n]?[?n]。

12122* 7、求所有的实数?，使得[n???]?[n?]对一切正整数n都成立。

n 8、设xi?R(i?1,2,???,n).求证：?x?R使下列不等式成立：?{x?xk}?k?1n?12。

9、若对任何整数n,a,b,c都满足[na]?[nb]?[nc]。 证明：a,b,c中至少有一个是整数。

122n 10、证明：对任意正整数n都有{2n}?。

11、证明???R,使得对?n?N,[?]与n的奇偶性相同，并给出一个如此的正实数。 12、在数列{an}中，a1是正整数，且an?1?[an?4534an?12]。试求出所有的a1使得

2**N当n?2时有an?1(mod10)。