专题复习检测
A卷
1．(2019年福建泉州模拟)数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n1·n，则S17＝( )
A．8 C．16 【答案】B
【解析】S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.
2．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )
A．13 C．11 【答案】A
【解析】因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，又a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60.所以Sn＝
n?a1＋an?n·60
＝＝390，即n＝13. 22
3．已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝( ) A．9 C．18 【答案】C
【解析】∵an＋1－an＝2，a1＝－5，∴数列{an}是首项为－5，公差为2的等差数列．∴an
n?－5＋2n－7?＝－5＋2(n－1)＝2n－7.数列{an}的前n项和Sn＝＝n2－6n.令an＝2n－7≥0，解
27
得n≥.∴n≤3时，|an|＝－an；n≥4时，|an|＝an.则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5
2＋a6＝S6－2S3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18.故选C．
4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
1111
第一步：构造数列1，，，，…，.
234n
第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an.
B．15 D．30 B．12 D．10 B．9 D．17
－
则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于( ) A．(n＋1)2 C．n(n－1) 【答案】C
nnnnnn
【解析】a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝·＋·＋…＋·
1223n－1n＝n2
B．(n－1)2 D．n(n＋1)
?1＋1＋…＋1? ?1×22×3?n－1?n????
?
11?111－?＝n2?1－2＋2－3＋…＋
n－1n?＝n2·n－1
＝n(n－1)． n
2n－1321
5．(2019年安徽皖西七校联考)在数列{an}中，an＝n，若{an}的前n项和Sn＝，则264n＝( )
A．3 C．5 【答案】D
2n－111111321
＋2＋…＋n?＝n－?1－n?，则Sn＝＝n【解析】由an＝n＝1－n，得Sn＝n－?2??22?2?22641
1－n?.将各选项中的值代入验证得n＝6. －??2?
6．(2018年上海)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝0，a6＋a7＝14，则S7＝________. 【答案】14
B．4 D．6
??a1＋2d＝0，【解析】由a3＝0，a6＋a7＝14，得?解得a1＝－4，d＝2.∴S7＝7a1
??a1＋5d＋a1＋6d＝14，
＋
7×6
d＝14. 2
7．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 018积数列”且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时n的值为________．
【答案】1 008或1 009
【解析】由题可知a1a2a3·…·a2 018＝a2 018，故a1a2a3·…·a2 017＝1，由于{an}是各项均为正数的等比数列且a1＞1，所以a1 009＝1，公比0＜q＜1.所以a1 008＞1且0＜a1 010＜1，故当数列{an}的前n项的乘积取最大值时n的值为1 008或1 009.
8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
【答案】2n1－2
【解析】∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2
2－2n2－2n＋1
＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.
1－21－2
9．在正项等比数列{an}中，公比q∈(0,1)，a3＋a5＝5且a3和a5的等比中项是2. (1)求数列{an}的通项公式；
1
(2)若bn＝(log2a1＋log2a2＋…＋log2an)，判断数列{bn}的前n项和Sn是否存在最大值？若
n存在，求出使Sn最大时n的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)依题意a3·a5＝4，又a3＋a5＝5，q∈(0,1)， ∴a3＝4，a5＝1. a511∴q2＝＝，即q＝.
a342
a3?1?n－1＝25－n. ∴a1＝2＝16，an＝a1·qn－1＝16·?2?q(2)∵log2an＝5－n，
?4＋5－n?
n9－n21
∴bn＝[4＋3＋…＋(5－n)]＝＝.
nn2
∵当n＜9时，bn＞0；当n＝9时，bn＝0；当n＞9时，bn＜0. ∴S1＜S2＜…＜S8＝S9＞S10＞S11＞…. ∴Sn有最大值，此时n＝8或9.
10．(2019年山东潍坊二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝8，S4＝40；数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn－2bn＋3＝0，n∈N*.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
??an，n为奇数，(2)设cn＝?求数列{cn}的前n项和Pn.
?bn，n为偶数，?
＋
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d.
???a1＋d＝8，?a1＝4，
由题意，?得?所以an＝4n.
???4a1＋6d＝40，?d＝4，
因为Tn－2bn＋3＝0，所以当n＝1时，b1＝3.
当n≥2时，Tn－1－2bn－1＋3＝0. 两式相减，得bn＝2bn－1(n≥2)． 所以数列{bn}为等比数列，bn＝3·2n－1.
??4n，n为奇数，(2)cn＝?
n－1
2，n为偶数.??3·
nn
?4＋4n－4?·6?1－4?
22
当n为偶数时，Pn＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝＋＝2n
21－4
＋1＋n2－2.
当n为奇数时，n－1为偶数，
Pn＝Pn－1＋cn＝2(n－1)＋1＋(n－1)2－2＋4n＝2n＋n2＋2n－1.
n12??2＋＋n－2，n为偶数，
所以Pn＝?
n2??2＋n＋2n－1，n为奇数.
B卷
11．(2019年广东江门模拟)数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，且bn＝ancos 2nπ
，记Sn为数列{bn}的前n项和，则S120＝( ) 3
A．7 160 C．7 280 【答案】C
an＋1an?an?
【解析】由nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，得＝＋1，所以数列?n?是以1为公差的等
??n＋1na1an2nπ1
差数列．又＝1，所以＝n，即an＝n2，所以bn＝n2cos.所以b3k－2＋b3k－1＋b3k＝－(3k
1n32－2)2－
4015?9k－5?＝40?9－5＋9×40－5?＝7 280. 22
(3k－1)＋(3k)＝9k－.所以S120＝k∑ ＝1?2?2?22?22
B．7 220 D．7 340
12．(2019年东北三校联考)如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，前n个内切圆的面积和为( )
1a2?A．?1－2n??π 9
1?a2?
1－－π B．
9?22n1?
1a2?C．1－2n＋1?π
9??【答案】D
1a2?D．?1－22n??π 9
131
【解析】设第n个三角形的内切圆半径为an，则易知a1＝atan 30°＝a，a2＝a1，…，
262131
an＝an－1，故数列{an}是首项为a，公比为的等比数列．设前n个内切圆面积和为Sn，则
262
2＋a2＋…＋a2) Sn＝π(a12n
11??1?2?21＋??2＋??2＋…＋＝πa1??2??4??2n－1??
????1112?1＋＋??2＋…＋??n－1? ＝πa1
?4?4?4???
1?a2?14a2?
＝×?1－22n?π＝?1－22n??π.故选D． 3129
13．已知数列{an}是等比数列，其公比为2，设bn＝log2an且数列{bn}的前10项的和为25，1111
那么＋＋＋…＋的值为________．
a1a2a3a10
【答案】
1 023
128
【解析】∵数列{an}是等比数列，其公比为2，∴b1＋b2＋…＋b10＝log2(a1·a2·…·a10)＝
1＋2＋log2(a1012
…＋9
111114525
)＝25，∴a10＋＋＋…＋＝1×2＝2，可得a1＝.那么4a1a2a3a10
1
1－10
21111 023
1＋＋2＋…＋9?＝4×4?＝. 2??221128
1－2
14．(2018年甘肃张掖模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝－3Sn＋4，bn＝－log2an
＋1
.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
bn1
(2)令cn＝n＋1＋，其中n∈N*，若数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.
2n?n＋1?【解析】(1)由a1＝－3a1＋4，得a1＝1. 由an＝－3Sn＋4，知an＋1＝－3Sn＋1＋4. 1
两式相减，化简得an＋1＝an.
4
1?n－1
?1?n＝2n. ∴an＝?，bn＝－log2an＋1＝－log2
?4??4?n1(2)由题意知cn＝n＋.
2n?n＋1?
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