??方向一致 当?1??2>0时，E3的方向与r当?1??方向相反 ??2<0时，E3的方向与r?????2时，则E1，E2不变（1分）
（2） 若?1???1??2=0 ?E3?0（1分）
E-r曲线如图：
7、 在一半径为a，电荷密度为?的均匀带电球体中，挖去一半径为c的球形空腔。空腔中心O1相对于带电球体中心O的位置矢径用b
表示。试证明空腔内的电场是匀强电场，即E=?b/3?0 （10分）
解：求空腔内任一点P的场强挖去体密度为?的小球，相当于不挖，而在同一位置处，放一体密度为-?的小球产生的场强的叠加（1分）；佃别以O，O`为中心，过P点作球面S1和S2为高斯面，则
??14?32r1 （2分） ?S1EdS?E14?r1???dv??03?0???E1?r1?2分?
3?0???同理得：E2??r2?2分?
3?0???????r1?r2??b?3分? P点场强E?E1?E2?3?03?08、 面的电通量。若以半球面如图所示，匀强电场的场强E与半径为R的半球面的轴线平行，试计算过此半球的边线为边，另作一个任意形状的曲面，通过引面的电通量为多少？ （8分）
解：S1面的通量：如图设与场强垂直的圆平面为S0，S1和S2组成一闭合曲面，其包围电荷?qi（1分） ?0，利用高斯定理得：
??????
??EdS???EdS???EdS?2分?s0
s1
??s0??s1?0?1分???s0???s1 ??2
?s0???EdS???RE?2分?s0
??s1???s0??R2E?1分?同理?s2???s01??R2E?1分?9、 半径为R的带电球，其体密度???0?1?r/R?，?0为常量，r为球内任意点至球心的距离。试求（1）球内外的场强分布；（2）
最大场强的位置与大小 （13分） 解：（1）????0?1?r/R?，?与r是线性关系，在球内过P点做一个半径为r的带电球同心的球面为高斯面如图，根据对称
0
性分析此球面上的场强大小相等，方向与r的一致（1分） 由高斯定理：
? 9
??E?dS??q??1分?0??E?dS??4?r2E内?1分?q??r0??r?0??1?R??4?r2dr
??r3??4r?
0??3?R??(1分)?4?r2E??30?r?4r?内???R?0?3??E??0r?3??1?3r?内??1分?0?4R? 当r>R时，即在球外过任一眯P仍作球形高斯面（1分） 由高斯定理：
??E?外dS??4?r2E外?1分?q??R??r?310?0?1?R??4?rdr?3?0?R3?1分??4?r2E?1外??0?R330?E?30R外?12?r2?1分?0(2)dE内?dr??3??1?3r???0?1分?0?2R??r?23R?1分? E??0Rmax9??1分?0
r越大，E?外单调减小，因而球外场无极值（1分）
10、半径为R的无限长直圆柱体均匀带电，体密度为?，试求场强分布，并画出E-r曲线 解：分别过圆柱体内外一点P0，P作如图（a）所示的高斯面，由高斯定理可得：（10分）
??E??内dS?2?rlE内?2分????r2l r?R时，
??1分?0；
?E?r内?02??1分?0??E????R2l外dS?2?rlE外??2分? r?R?时，
02
?E0R外??2??1分?0r场强的方向均为径向（1分）
E-r曲线如图（b）(2分)
11、一电量为q=1.5?10?8C的点电荷，试问；（1）电势为30V的等势面的半径为多大？（2）电势差为1。0V的任意两个等势面，
10
其半径之差是否相同？设U??0 （8分）
解：（1）选无限远为电位参考点，据点电荷电位公式
U?q得?1分? 4??0r1.5?10?8?1分?30??124???8.9?10q?r?(1分)4??0U
9?109?1.5?10?8?30?4.5米(1分)（2）没半径差为?r，则r2=r1=?r(1分)
根据电位差公式得：
?11????rr??r???1分??11??U?1.0?伏?U?q4??0 ?4??0?r?1分??r1?r1??r?q2
?4??0r1?4??0r1?1分??r??1?q???q????r?r12q?r14??0?1分?从上式看出，当r1取不同值时，?r值不等（1分）
12、电荷Q均匀分布在半径为R球体内，试求球内外的电势 （12分） 证明：利用高斯定理求得球内外任一点的场强
E内?QrQ(2分);E?(2分) 外324??0R4??0rR离球心r处（ r U??r??????E内dL??RE外dL?Q4??0R3?Rrrdr?dr(3分)?Rr24??0r?QQQQ2222????(2分)R?r??3R?r338??0R4??0R8??0R? 证毕r?R处U??rQ1Qdr?(3分)24??0r4??0r13、 如图所示，电量q均匀地分布在长为2L的细直线上，试求空间任意一点P（x,y）的电势；再由此求出延长线上和中垂线上任意 一点电势。 （12分） 解：（1）在图中：r??x?l?2?y2，带电线元dl在P点的电位： dldu?q?8??0L?x?l?2?y2 (2分）整个带电线在P点的电位： 11 qLU???L8??0L?q??ln?x?L??8??0L??x?L?2?y2dL?x?L?2?y?（2分）???L 2L x?L?qln8??0Lx?L??x?L??y（1分）22?x?L??y22 （2）当P点在其延长线上，距O为x (即 P(x,0))处 U?q8??0Llnx?L?x?L??x?L??x?L?22?q8??0Llnx?L（2分） x?L当P点在直线中垂面上，离中心O为y（即P（0，y））处 U?q8??0LlnL?L2?y2?L?L?y22 （2分）14、如图所示，半径为R1和R2的两个同心球面均匀带电，电量分别为Q1和Q2。（1）试求区域1，2，3中的电势；（2）讨论Q1=-Q2和 Q2=-Q1R2/R1两种情况下各区域中的电势，并画出U-r曲线 （14分） 解：（1）利用高斯定理求出： ??E1?0?r?R1?;E2??r?Q1Q1?Q2???r?R2（???2分） rR?r?R;E?r123224??0r4??0r???Q1?Q2Q1?Q2 电位分布： U3??E3dL??r ?r?R2（?2分）dr?24??0r4??0r U2?Q14??0r?2?Q2（2分） 4??0R221 U1??R??R??R??1?Q1Q2??? ?r?R1（?2分）E3dL??RE2dL??rE3dL????4??0?R1R2?1 当Q2=-Q1时：U3=0；U2?Q14??0?11?Q1???;U??rR?14??2?0??11??? ?（?R?2分）R2??1 当Q2=- R2R1Q1时：U3??Q1?R2?R1?Q;U2?14??0R1r4??0?11?? （2分）?r?R??;U1?01??在此两种情况下的U-r曲线如图 （2分） 15、半径为R的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为?。以轴线为电位参考点，求其电位分布 （10分） 解：用高斯定理求出场强的分布： ??R2??r?;E内?? （4分） E外?rr2?0r2?0以轴线为电位参考点得 U内??r0??0?r?r2?r?R?(2分）E内dr??rdr??2?04?022222 U外??R?R?R?R?RR?R?R??4分）??rdr???ln?2ln?1??r?R（?4?02?0r4?02?0r4?0?r?Q3R2?r216、电荷Q均匀分布在半径为R的球体内，设无究远处为电势零点，试证明离球心r(r ?? 12
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