2019年
解析 设物体A和圆盘保持相对静止，当ω具有最小值时，A有向圆心O运动的趋势，A受到的静摩擦力方向沿半径向外．
当摩擦力等于最大静摩擦力时，对A受力分析有
F－Ff＝Mω12r，
又F＝mg，
ω1＝
mg－Ff
＝5 rad/s Mr当ω具有最大值时，A有远离圆心O运动的趋势，A受到的最大静摩擦力指向圆心．对A受力分析有
F＋Ff＝Mω22r，
又F＝mg， 解得ω2＝
mg＋Ff
＝5 rad/s， Mr所以ω的范围是5 rad/s≤ω≤5 rad/s.
6.如图8所示，小物块A与水平圆盘保持相对静止，随着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受到的力有( )
图8
A．重力、支持力 B．重力、向心力
C．重力、支持力、指向圆心的摩擦力 D．重力、支持力、向心力、摩擦力 答案 C
7.如图9所示，绳子的一端固定在O点，另一端拴一重物在光滑水平面上做匀速圆周运动( )
图9
A．转速相同时，绳短的容易断 B．周期相同时，绳短的容易断 C．线速度大小相等时，绳短的容易断 D．线速度大小相等时，绳长的容易断 答案 C
mv212π
解析 绳子的拉力提供向心力，设绳子的拉力为F，则F＝mωr＝，此处，T＝＝，所以，当转速n相同，
rnω2
即是周期或角速度相同时，绳长r越大，拉力F越大，绳子越容易断，选项A、B错误；当线速度v相等时，绳
2019年
长r越小，拉力F越大，绳子越容易断，选项C正确，D错误．
8．(2018·温州市六校期末)摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，如图10所示．当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜；行驶在直线上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样．假设有一摆式列车在水平面内行驶，以360 km/h的速度转弯，转弯所在处半径为1 km，则质量为50 kg的乘客，在转弯过程中所受到的火车给他的作用力为(g取10 m/s)( )
2
图10
A．500 N C．500 2 N 答案 C
B．1 000 N D．0
v222
解析 乘客所需向心力F＝m＝500 N，由勾股定理，火车给他的作用力FN＝F＋?mg?＝5002 N.
r考点三 竖直面内的圆周运动问题
1．定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同． 2．确定临界点：抓住轻绳模型中最高点v≥gr及轻杆模型中v≥0这两个临界条件． 3．研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况． 4．受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程． 5．过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程． 模型1 轻绳模型
例2 如图11所示，质量为m的竖直光滑圆环A的半径为r，竖直固定在质量为m的木板B上，木板B的两侧各有一竖直挡板固定在地面上，使木板不能左右运动．在环的最低点静置一质量为m的小球C.现给小球一水平向右的瞬时速度v0，小球会在环内侧做圆周运动．为保证小球能通过环的最高点，且不会使木板离开地面，不计空气阻力，则初速度v0必须满足( )
图11
A.3gr≤v0≤5gr C.7gr≤v0≤3gr 答案 D
解析 在最高点，速度最小时有：
B.gr≤v0≤3gr D.5gr≤v0≤7gr
2019年
v1
mg＝m
r解得：v1＝gr.
从最高点到最低点的过程中，机械能守恒，设最低点的速度为v1′，根据机械能守恒定律，有： 1212
2mgr＋mv1＝mv1′
22解得v1′＝5gr.
要使木板不会在竖直方向上跳起，在最高点，球对环的压力最大为：
2
F＝mg＋mg＝2mg
在最高点，速度最大时有：
v22
mg＋2mg＝m
r解得：v2＝3gr.
从最高点到最低点的过程中，机械能守恒，设此时最低点的速度为v2′， 根据机械能守恒定律有： 1212
2mgr＋mv2＝mv2′
22解得：v2′＝7gr.
所以保证小球能通过环的最高点，且不会使木板在竖直方向上跳起，在最低点的速度范围为： 5gr≤v0≤7gr.
9.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图12所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(不计空气阻力，g＝10 m/s)( )
2
图12
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零 C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 答案 B
解析 “水流星”在最高点的临界速度v＝gL＝4 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B. 模型2 轻杆模型
2019年
例3 如图13所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆轨道，外轨内表面光滑，内轨外表面粗糙．一质量为m的小球从轨道的最低点以初速度v0向右运动，球的直径略小于两轨间距，球运动的轨道半径为R，不计空气阻力．下列说法正确的是( )
图13
A．当v0＝2gR时，小球最终停在最低点 B．当v0＝2gR时，小球可以到达最高点 C．当v0＝5gR时，小球始终做完整的圆周运动
D．当v0＝5gR时，小球在最高点时对内轨的外表面有挤压 答案 C
12
解析 若v0＝2gR，则由mv0＝mgh可知，h＝R，则小球能到达与圆轨道圆心等高的一点后反向返回，在最低点
2两侧往返运动，选项A错误；若v0＝2gR，且轨道的内外壁均光滑时，小球到达最高点的速度恰好为零，但是因轨道内轨外表面粗糙，则小球与内轨接触时要损失机械能，则小球不能到达最高点，选项B错误；若小球运动时
v21
只与轨道的外轨接触而恰能到达最高点，则到达最高点时满足mg＝m，从最低点到最高点由机械能守恒可知，
R2mv02＝mg·2R＋mv2，解得v0＝5gR，由此可知当v0＝5gR时，小球始终做完整的圆周运动，且沿外轨道恰能运
动到最高点，选项C正确，D错误．
10．(2018·嘉兴市期末)体操运动员做“单臂大回环”时，用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴在竖直平面内做圆周运动，如图14所示．此过程中，运动员到达最低点时手臂受的拉力约为(不计空气阻力)( )
1
2
图14
A．50 N C．2 500 N 答案 C
B．500 N D．5 000 N
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