第5章 解线性方程组的直接法（演示）

进行如下的矩阵计算：

(k)(k)(1) 用初等排列矩阵Pi,k左乘[A,b]，即

(k)(k)(k)?(k)?Pi,k[A,b]?[A,b]

kk其中Pi,k由交换单位矩阵I的第ik与k两行所得。

k显然Pi,kPi,k?I。

kk?(k),b?(k)]，即 (2) 用初等矩阵Lk左乘[A?(k),b?(k)]?LP[A(k),b(k)]?[A(k?1),b(k?1)] Lk[Akik,k于是对[A(1),b(1)]?[A,b]施行带行交换的n?1步

消元过程，可用矩阵表示为

Ln?1Pi,n?1?L2Pi,2L1Pi,1[A(1),b(1)]?[A(n),b(n)]

n?121从而有

Ln?1Pin?1,n?1?L2Pi2,2L1Pi1,1A?A(n)?U

因为(Pi,j)?1?Pi,j，所以上式可改写为

Ln?1Pin?1,n?1?L2Pi2,2L1Pi1,1A?Ln?1(Pin?1,n?1Ln?2Pin?1,n?1)(Pin?1,n?1Pin?2,n?2Ln?3Pin?2,n?2Pin?1,n?1)? (Pin?1,n?1?Pi2,2L1Pi2,2?Pin?1,n?1)Pin?1,n?1?Pi2,2Pi1,1A可以证明，若Lk是指标为k的单位下三角阵，则L*k?Pi,jLkPi,j(i,j?k)仍是一个指标为k的单位下三角阵。若令

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P?Pin?1,n?1Pin?2,n?2?Pi1,1

则P是排列阵。又设

??LLn?1n?1 ??PL，k?1,?,n?2kin?1,n?1?Pik?1,k?1LkPik?1,k?1?Pin?1,n?1于是

?L??L?PA?U Ln?1n?21即

?)?1?(L?)?1(L?)?1U PA?(L1n?2n?1?1?1??1??注意到(L1)?(Ln?2)L(n?1)仍为单位下三角

阵，若令

?)?1?(L?)?1(L?)?1 L?(L1n?2n?1则有

PA?LU

上式表明，带行交换的Gauss消去过程所产生

的矩阵分解，相当于对系数矩阵先施行每步消元时所做行交换后，再将所得矩阵PA进行LU分解。

以上讨论可叙述为

定理4（列主元三角分解定理）如果A为非奇异矩阵，则存在排列矩阵P，使

PA=LU

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其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵。

3 矩阵三角分解法

3.1 直接三角分解法

1. 不选主元的直接三角分解法 设A?LU为如下形式

?a11a12?aa?2122?????an1an2??u11u12?u1n??a1n??1?l????1?a2n??21u22?u2n????

??????????????ll?1????ann??n1n2u??nn?(3.1)

由矩阵的乘法规则，得

a1j?u1j (j?1,2,?,n)

?i?1??likukj?uij j?imin(i,j)?k?1aij??likukj??j?1 (i?2,?,n)

k?1?lu+lu j?i?ikkjijjj??k?1由此可得计算lij和uij的公式

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??u1j?a1j (j?2,?,n)?i?1??uij?aij??likukj (i?2,?,n,j?i,?,n) ?k?1?j?1?1?lij?(aij??likukj) (j?1,?,n,i?j?1,?n)ujjk?1??(3.2)

具体步骤如下：

1）计算U的第1行，L的第1列

u1j?a1j ( j?1,2,?,n); li1?ai1u11 (i?2,?,n)

urj?arj??lrkukj (j?r,r?1,?,n) 1lir?(air??likukr) (i?r?1,?,n,r?n)

urrk?1k?1r?1r?12 ）计算U的第r行，L的第r列(r?2,?,n)

例2 求矩阵

?223???A?477 ?????245??的三角分解。

解 按式(3.2)

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