本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查定值问题，正确运用韦达定理是关键． 18．（1）曲线C1的直角坐标方程为(x?3)2?(y?1)2?4，C2的直角坐标方程为3x?y?m?0；（2）
m?4或m??8.
【解析】 【分析】
（1）利用cos2??sin2??1消去C1参数方程的参数，得到直角坐标方程.利用?cos??x，?sin??y，化简求得C2的直角坐标方程.（2）利用圆心到直线的距离减去半径，得到AB的最小值的表达式，解方程求得m的值. 【详解】
??x?3?2cos?解：（1）由?消去参数，得x?3??y?1?2sin???2??y?1??4，
2所以曲线C1的直角坐标方程为x?3??2??y?1??4.
2由
??m??，整理得?sin??3?cos??m， ?2sin????3??而?cos??x，?sin??y，
所以y?3x?m，即C2的直角坐标方程为3x?y?m?0. （2）由（1）知曲线C1是圆心为
?3,1，半径r?2的圆，
?则圆心
?3,1到直线3x?y?m?0的距离为?3?3?1?m?3?2???1?2.
所以ABmin?3?3?1?m?3?2???1?2?2?1，
解得m?4或m??8. 【点睛】
本小题主要考查参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程，考查圆上点到直线距离的最值问题，属于中
档题.
19． (1)见证明；(2) sin??【解析】 【分析】
解法一：（1）连接BD，设BD?AC?O，根据相似三角形以及等分线段性质，即可证明FB//MO，连接NO，证明AONF是平行四边形，得到FN//AO，由两平面平行判定定理即可得到平面BFN//平
30 6面MAC．
解法二：（1）由题意可得AB?AD，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面MAC的法向量，分别与平面BFN中两个相交向量相乘等于0，即可证明平面BFN//平面MAC；
（2）由（1）可得平面MAC的法向量，再求出平面ECD的法向量，进而求得平面MAC与平面ECD所成的二面角的余弦值，由此求出sin?． 【详解】
解：（1）证法一：连接BD，设BD?AC?O，连接NO，MO， 因为AD//BC，所以?BOC~?AOD，所以在?FBD中，因为
DOAD2??， OBBC1MD2DO??， MF1OB所以MO//FB，且MO?平面MAC， 故FB//平面MAC，
ND2DO??， NE1OB2所以NO//EB，且ON?BE?2，
3在?FBD中，因为
所以ON?AF，因为BE//AF，
所以ON//AF，所以AONF是平行四边形， 所以FN//AO，且AO?平面MAC，
所以FN//平面MAC，因为FNIBF?F，所以平面BFN//平面MAC.
证法二：因为AD//BC，AB?2，BC?1，AD?2，CD?5，所以AB?AD， 因为BE//AF，BE?平面ABCD，所以AF?平面ABCD， 所以AF?AB，AF?AD，
取AB所在直线为x轴，取AD所在直线为y轴，取AF所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知可得B(2,0,0)，C(2,1,0)，D(0,2,0)，E(2,0,3)，F(0,0,2) 所以DF???(0,?2,2)，因为
FM1?， MD22??44?所以DM?DF??0,?,?，
333??所以点M的坐标为?0,??24?,?， 33??42?,,2?， 3?3???24??，设?m?(x,y,z)为平面MAC的法向量， 33?同理可求N点的坐标为??所以AC??(2,1,0)，AM??0,,rruuuu?2x?y?0??m?AM?0???2则?ruuu，令x?1，解得y??2，z?1， r4y?z?0???m?AC?03?3所以m?(1,?2,1)，
??22?BN?因为BF?(?2,0,2)，??,,2?，
?33???所以m?BF??BN?(1,?2,1)????(1,?2,1)?(?2,0,2)?0，且m·???22?,,2??0， 33??所以平面BFN//平面MAC
（2）m?(1,?2,1) 为平面MAC的法向量.
?EC??(0,1,?3)，CD?(?2,1,0)
r?可求平面ECD的一个法向量为n?(3,6,2)
rrm?n所以cos??rr?m?n76?， 66?7所以sin??1?cos2??1?【点睛】
130 ?66本题主要考查面面平行的证明，空间向量在立体几何中的应用，考查学生的空间想象能力和计算能力，属
于中档题．
220．（1）曲线C的直角坐标方程为y?4x；直线l的普通方程为x?y?2?0.（2）122.
【解析】 【分析】
(1)利用?cos??x,?sin??y可以把极坐标方程为直角坐标方程；对于参数方程，消去参数t可得普通方程.
(2)把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数的几何意义可求解. 【详解】
(1)由?sin2??4cos?,可得??sin???4?cos?， 则曲线C的直角坐标方程为y?4x.
22??x??2??由??y??4???2t,2（t为参数）， 2t2消去t，得直线l的普通方程为x?y?2?0.
(2)把直线l的参数方程代入y2?4x, 得到t2?122t?48?0, 设点M，N对应的参数分别为t1,t2， 则t1+t2=122，t1t2=48?0,
所以t1?0,t2?0，则PM?PN=t1+t2=122. 【点睛】
本题考查极坐标与参数方程的综合问题，考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化.
x2y221． (1) ??1 (2)见证明
42【解析】 【分析】
（1）求得抛物线的焦点，设M(x,y)，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简整理，可得所求轨迹方程；
（2）对直线的斜率讨论，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积公式，结合直线与圆
相切，即可得到证明． 【详解】
解：（1）抛物线y2?42x的焦点F(2,0)， 设M(x,y)，由题意可得22(x?2)2?y2|x?22|?2， 2两边平方可得x?y?22x?2?12x?8?42x， 2??x2y2化为??1，
42x2y2点M的轨迹C的方程为椭圆??1；
42（2）证明：当切线l的斜率不存在时切线方程为x?2323或x??， 33当切线方程为x?2323232323时，切线与椭圆的两个交点为(,)和(,?)， 33333uuuruuur232232此时OA?OB?()?()?0，
33即OA?OB； 当x??23时，同理可证得. 3当切线l斜率存在时，可设l的方程为y?kx?m， 与椭圆方程联立，可得1?2k?2?x2?4kmx?2m2?4?0，
则??32k2?8m2?16?0， 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
4km2m2?4则x1?x2??，x1x2?，
1?2k21?2k222∴y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m
2m2?4?4km?m2?4k22?k??km???m?， 2?21?2k21?2k1?2k??2∵l与圆x?y?∴d?224相切， 3m1?k2?23，∴3m2?4k2?4， 3
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