uuuruuur2m2?4m2?4k23m2?4?4k2∴OA?OB?x1x2?y1y2????0，即OA?OB． 2221?2k1?2k1?2k综上可得，OA?OB． 【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，考查数量积公式，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档
题．
x2y222．（1）（2）见解析 ??1；
259【解析】 【分析】
（2）法一：设?1?由椭圆的定义可知M的轨迹是以F为焦点，l为准线的椭圆，然后即可求得其方程．
A?x1,y1?，根据点到直线的距离和椭圆的定义即可求出.法二:联立直线和圆的方程，可得m与k的关系
式，再联立直线与椭圆方程，消去y，利用韦达定理，弦长公式，求出△ABD的三条边，即可求△ABD的周长． 【详解】
(x?4)2?y24x2y2?解：?1?由题意得?1为轨迹C的方程； 255，??x?2594?2?法一：设A?x1,y1?到l的距离为d?25?x1，则
4AF444AF?d?5?x1， ，有?55d5x12y12Q??1， 259?x12??y?9?1??AN??25?21AO|2?ON|2??x12?y12??9?1624x1?x1， 255?FA?AN?5?44x1?x1?5,同理FB?BN?5， 55?FA?FB?AB?10，?△FAB的周长为定值10．
法二：设A?x1,y1?，B?x2,y2?，由题知k?0，m?0 设直线m：y?kx?m与圆x?y?9相切，?22mk2?1?3. ，即m2?9?k2?1?
22xy222把y?kx?m代入??1得25k?9x?50kmx?25m?225?0
259??50km25m2?225显然V?0,x1?x2??， ,x1x2?2225k?925k?950km225m2?225120kk2?1， ?AB?k?1x1?x2?k?1(?)?4??22225k?925k?925k?92244450km120kk2?1
，FA?FB?5?x1?5?x2?10??x1?x2??10??10?2255525k?925k?9?FA?FB?AB?10， ?△FAB的周长为定值10．
【点睛】
本题考查轨迹方程的求法以及直线与圆相切，直线与椭圆位置关系的应用，考查韦达定理，弦长公式在计
算中的灵活运用，属于中档题. 高考模拟数学试卷
注意事项：
1、本试卷本分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）～（24）题为选考题，其它题为必考题.
2、考生作答时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效. 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要
求的.
1. 已知集合M??x3x?x2?0?,N??xx2?4x?3?0?,则MIN?
(A)?0,1? (B)?1,3? (C)?0,3? (D)?3,??? 2. 设复数z的共轭复数为z，i为虚数单位，已知?3?4i?z?1?2i，则z=
12121212（A）?i （B）??i （C）??i （D）?i
555555553．某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟及是否患有肺病，得到2?2列联表，经计算得K2?5.231，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，则该研究所可P(K2?3.841)?0.05,P(K2?6.635)?0.01，（A）有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关” （B）有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关” （C）有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关” （D）有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关” 4． 执行如图所示的程序框图，输出的S值为 （A）19 （C）8
（B）42 （D）3
开始 以（ ）
i?1,S?1 i?i?1 i?4? 否 输出S 结束 是 S?2S?i 5. 已知a?b，函数f(x)=sinx，g(x)=cosx． 命题p：f(a)?f(b)?0，
命题q：函数g(x)在区间(a,b)内有最值．则命题p是命题q成立的 (A) 充分不必要条件 (C) 充要条件
(B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件
6．如图，矩形OABC内，阴影部分是由直线y?x?4，曲线y?2x以及x轴围成，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
7 5 1 2 (A)(B)(C)(D)1212237．函数y?Asin??x???(A?0,??0,0???2?)一个周期的图像如图所示,则
(A) A?2,??2,??3? 4y25?(B) A?2,??2,??
413?(C) A?2,??,??
24(D)A?2,??-π2O3π27π2x15? ,??248.右图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为 （A）
343344,1 （B）,1 （C）, （D）, 2322339．已知F1、F2是椭圆C的两个焦点，满足MF1?MF2?0的点M总在椭圆的内部，则椭圆C的离心率
的取值范围（ ）
（A）(0,1) （B）(0,1] （C）(0,222) （D）[,1) 22?2?x?1,x?0,10.已知函数f(x)??若方程f(x)?x?a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的
?f(x?1),x?0.取值范围是
（A）?0,1? （B）???,1? （C）?0,??? （D）???,1?
uuruuruuruuuruuuruur11. 点P是在△ABC所在平面上一点，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，AB=2，AC=3，?A?60?.存在
实数?,?，使AP??AB??AC，则 （A）??uuuruuuruuur21122122,?? （B）??,?? （C）??,?? （D）??,??[] 39393339212. 若圆?x?1??y2?r2?r?0?与曲线x(y?1)?1的没有公共点，则半径r的取值范围是 (A)0?r?2 （B）0?r?1113 （C）0?r?3 （D）0?r? 22第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题?第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题?第：24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题共4小题，每小题5分，共20分. 13．化简1??x??5?1?x 按x升幂排列为 ．
11主视图1213左视图?514．某三棱椎的三视图如图所示，
则其体积为 ．
?x?0,?15．已知x,y满足?y?x,（k为常数），若
?x?y?k.?值为8，则k=________. 16．在△ABC中，BC?
z?x?2y最大
俯视图2,?B??4，则AB?2AC的最小值为 ___________.
三、解答题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17.（本小题满分12分）
已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且a2?4，S5?30，数列{bn}满足
b1?2b2????nbn?an.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：b1b2?b2b3?L?bnbn?1?4.
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M,N分别为线段
PB,PC上的点，MN?PB.
(Ⅰ)求证：BC?平面PAB；
(Ⅱ)当PA?AB?2，二面角C?AN?D大小为为
19．（本小题满分12分）
某工厂新研发的一种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下6组数据：
单价x（元） 销量y（件） 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68 π时，求PN的长. 3PMNDABC（Ⅰ）若90?x?y?100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组 数据，2组数据中“定价合理”的个数记为，求的数学期望；
（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并用回归方程预测在今后的销售中，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元?（利润L＝销售收入－成本）
?x?a??b?中系数计算公式： 附：线性回归方程y??b?(x?x)(y?y)iii?12(x?x)?ii?1nn?x，其中x、y表示样本均值． ??y?b，a
20. （本小题满分12分）
已知抛物线C：x?4y，M为直线l:y??1上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA,MB，切点分别为A,B.
（Ⅰ）当M的坐标为(0,?1)时，求过M,A,B三点的圆的方程； （Ⅱ）证明：以AB为直径的圆恒过点M.
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