动态问题的押轴题解析汇编二
动态问题
1．（2011山东聊城 24，12分）（本题共12分）如图，在矩形ABCD中，AB?12cm，BC?8cm,点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与G点重合）时，三个点随之停止移动，设移动开始第t秒时，?EFG的面积为S(cm2)。 （1）当t?1时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围。 （3）若点F在矩形的边BC上移动时，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由。
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A D G B F 25题图 C 【解题思路】(1)根据移动时间和移动速度，可以求得BE、BF、FC和CG的长度，计算出梯形EBCG和三角形BEF、三角形FCG的面积，从而求出?EFG的面积为S(cm2)的值。
（2）由题意知移动时间t的取值范围是0＜t≤4，①当0＜t≤2时，图形如上图，此时可以用含有t的代数式表示出BE、BF、FC和CG的长度，进而表示?EFG的面积S；②当2＜t≤4时，图形如下，此时可以用含有t的代数式表示出FG的长度，从而表示出出?EFG的面积为S的值。
ADGEF
（3）用含有t的代数式表示出BE、BF、FC和CG的长度，由于两三角形对应关系的不确定，需要分来两种情况进行讨论。
【答案】解：（1）t?1时，AE?2,BF?4,CG?2。则
BE?12?2?10,CF?8?4?4.
BC∴梯形EBCG的面积为(BE?CG)BC?(10?2)?8?48,
?BEF1212112211?CFG的面积为CF?CG??2?4?4,
22的面积为BE?BF??10?4?20,
∴S?48?20?4?24.
(2) ①当点F在BC时，此时0＜t≤2.
AE?2t,BF?4t,CG?2t。则BE?12?2t,CF?8?4t.
2
∴梯形EBCG的面积为(BE?CG)BC?(12?2t?2t)?8?48,
?BEF1212112211?CFG的面积为CF?CG??(8?4t)?2t??4t2?8t,
22的面积为BE?BF??(12?2t)?4t??4t2?24t,
∴S?48?(?4t2?24t)?(?4t2?8t)?4t2?32t?48。 即S?4t2?32t?48 （0≤t≤2）。 ②当点F在CD时，此时2＜t≤4。
CG?2t，CF?4t?8，
∴FG?CG?CF?2t?(4t?8)?8?2t。
?EFG的面积为FG?BC?(8?2t)?8??8t?32。
1212即S??8t?32 （2＜t≤4）。
（3）点F在矩形的边BC上移动时，此时0≤t≤2。
EBBF12?2t4t2??。解得t?。 ,即FCCG8?4t2t322又t?满足0≤t≤2，所以当t?时，?EBF∽?FCG；
33EBBF12?2t4t3??②若,即。解得t?。 GCCF2t8?4t233又t?满足0≤t≤2，所以当t?时，?EBF∽?GCF；
2223综上可知，当t?或t?时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、
32①若
C、G为顶点的三角形相似。
【点评】本题是当前的热点问题，动态几何探究综合题，需要综合运用相似等知识以及分类讨论的数学思想，意在考查学生逻辑推理能力、探究发现能力、灵活利用数学知识解决问题的能力。
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2.（2011年四川省南充市21题8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC, AD=AB=CD=2, ∠C=600, M是BC的中点。
（1）求证：⊿MDC是等边三角形；
（2）将⊿MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时，点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF周长的最小值。
AD'EC'FDBMC
【解题思路】此题边长给出较多，因而可从边长入手；由图形中的特殊的边角关系，利用全等变换，等量代换寻求周长的最小值。 【答案】证明：过点D作DP⊥BC于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，
AC′FD∵∠C=∠B =60°
∴CP=BQ=AB,CP+BQ=AB
12D′EBQMPC又∵ADPQ是矩形,AD=PQ,BC=2AD,由已知，点M是BC的中点，
BM=CM=AD=AB=CD，即△MDC中，CM=CD,∠C=60°，故△MDC
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