(x0,y0)?(0,0)，
u(x,y)??(x,y)(0,0)2Pdx?Qdy=x2?xsiny
222（2）(x?2xy?y)dx?(x?2xy?y)dy；
解 因为P?x?2xy?y，Q?x?2xy?y，所以
2222?P?Q在整个?2x?2y??y?x2222：在整个xOy面内，(x?2xy?y)dx?(x?2xy?y)dy是某xOy面内恒成立，因此，
一函数u(x,y)的全微分，即有
(x2?2xy?y2)dx?(x2?2xy?y2)dy?du。
易知 u(x,y)?131x?x2y?xy2?y3?C。 33（3）ex(1?siny)dx?(ex?2siny)cosydy。
解 令P(x,y)?ex(1?siny)，Q(x,y)?(ex?2siny)cosy，则在全平面上有 ?Q?P??excosy，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上， ?x?yex(1?siny)dx?(ex?2siny)cosydy
是全微分．
u(x,y)?ex?1?exsiny?sin2y．
5 可微函数f(x,y)应满足什么条件时，曲线积分
?与路径无关？
Lf(x,y)(ydx?xdy)
解 令P?yf(x,y)，Q?xf(x,y)，则
?P?Q?f(x,y)?yfy(x,y)，?f(x,y)?xfx(x,y)。 ?y?x当
5
?P?Q?，曲线积分?f(x,y)(ydx?xdy)在整个xOy面内与路径无关。
L?y?x习题10—4
1 当?为xOy面内的一个闭区域时,曲面积分
??f(x,y,z)dS与二重积分有什么关系?
?答 当?为xOy面内的一个闭区域D时，?在xOy面上的投影就是D，于是有 2 计算曲面积分（1）锥面z???f(x,y,z)dS??f(x,y,0)dxdy。
?D22(x?y)dS，其中?是 ???x2?y2及平面z?1所围成的区域的整个边界曲面；
1(2?1)?。 2解 ??z?y（2）yOz面上的直线段? (0?z?1)绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面。
x?0?解 2?。 2
3 计算下列曲面积分: (1)
22z?2?(x?y),z?0； ，其中是抛物面在面上方的部分：xOydS????解：?13π. 3
(2)
2222x?y?z?a，其中是上半球面,z?0； (x?y?z)dS????解： ?0?πa3?πa3.
3yzxyz（3）??(x??)dS，其中?为平面???1在第一卦限的部分；
22234? （4）
761． 61222x?y?RdS，其中是柱面被平面z?0﹑z?H所截得的部分. ?22??x?y?解
πH1. dS?22??Rx?y?1πH1?. dS22??Rx?y?2同理可求得
6
所以
4 求抛物面壳z? 解?
12πHdS. ?22??x?yR?12(x?y2)（0?z?1）的质量，此壳的密度为??z。 22π(63?1). 15 习题10—5
1当?为xOy面内的一个闭区域时,曲面积分
??R(x,y,z)dxdy与二重积分有什么关系?
?答 当?为xOy面内的一个闭区域时, ?的方程为z?0。若?在xOy面上的投影区域 为Dxy，那么
??R(x,y,z)dxdy????R(x,y,0)dxdy，
?Dxy当?取上侧时，上式右端取正号; 当?取下侧时，上式右端取负号。
2 计算下列对坐标的曲面积分:
(1) ??(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?x)dxdy，其中?是以坐标原点为中心，边长为2的
?立方体整个表面的外侧；
解 ：??(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?x)dxdy?24.
?
1（2）??(z2?x)dydz?zdxdy，其中?为旋转抛物面z?(x2?y2)介于z?0,z?2之间部
2?分的下侧。
解：
??(z?2?x)dydz?zdxdy?8π。
（3）
2222x?y?z?a，其中为，z?0的上侧； xdydz?ydxdz?zdxdy????解∴ 原式=
23?a?3=2?a3 37
（4）
ò??xydydz?yzdxdz?zxdxdy，其中?是由平面x?0，y?0，z?0，
?x?y?z?1所围成的四面体的表面的外侧。
解：
3 把对坐标的曲面积分
ò??xydydz?yzdxdz?zxdxdy?。
?18??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy
?化成对面积的曲面积分，这里?为平面3x?2y?23z?6在第一卦限的部分的上侧。
3223R(x,y,z)]dS 解：???[P(x,y,z)?Q(x,y,z)?555?
习题10—6
1 利用高斯公式计算下列曲面积分： （1）
22x?y?1及平面z?0及z?3所，其中为柱面(x?y)dxdy?x(y?z)dydz?ò???围成的空间闭区域?的整个边界曲面的外侧。（《高等数学》P170 例1）
9解：??。
2 （2）
22，其中为曲面及平面(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdyz?x?y?ò???z?0﹑z?h(h?0)所围成的空间区域的整个边界的外侧。
解
zò??(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy=0.
?（3）
??(x?2其中?为锥面cos??ycos??zcos?)dS，
22z?hx2?y2?z2介于平面z?0﹑z?h(h?0)之间的部分的下侧，
xoycos?﹑cos?﹑cos?是?在点(x,y,z)处的法向量的方向余
弦。
8
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