[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）
如图，AA1、BB1是圆柱的两条母线， A1B1、AB分别经过上下底面圆的圆心O1、O，CD是下底面与AB垂直的直径，CD?2.
（1）若AA1?3，求异面直线A1C与B1D所成角的余弦值； （2）若二面角A1?CD?B1的大小为
?，求母线AA1的长. 3
23．（本小题满分10分）
设
2n?(1?2x)i?1i?a0?a1x?a2x2?L?a2nx2n(n?N?)，记Sn?a0?a2?a4?L?a2n.
（1）求Sn；
123nn3（2）记Tn??S1Cn?S2Cn?S3Cn?L?(?1)SnCn，求证：|Tn|?6n恒成立.
南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
2 4．真 5．6 6．2 7．23 33218．3 9． 10．7 11． 12．10 13．4 14．?
3321．(??,0] 2．5 3．
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在
答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由sin(B??6)?2cosB可知
31sinB?cosB?2cosB， 22移项可得tanB?3，又B?(0,?)，故B?又由cosC??3， ………………………………………2分
362，C?(0,?)可知sinC?1?cosC?， ………………………4分
33bcACAB?故在?ABC中，由正弦定理可得 ，所以AB?2. …………7分 ??sinBsinCsinCsin3??????（2）由（1）知B?，所以A??0,?时，?A?(0,)，
333?3??3?442?即cos(?A)?可得sin(?A)?1?cos(?A)? ， ……………10分
335535??????341343?3????∴sinA?sin(?(?A))?sincos(?A)?cossin(?A)?.…14分
333333252510由cos?B?A??
16．（1）证明：连结AC交BD于点O，连结OP， 又因为AC1//平面PBD，AC1?平面ACC1
平面ACC1?平面BDP?OP，所以AC1//OP ……………3分 因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O ， 所以点O是AC的中点，所以AO?OC，
PC1AO??1. ……………6分 PCOC（2）证明：连结A1C1.
所以在?ACC1中，
因为ABCD?A1B1C1D1为直四棱柱，所以侧棱C1C垂直于底面ABCD，
又BD?平面ABCD，所以CC1?BD．…………………………………………………………8分 因为底面ABCD是正方形，所以AC?BD． ……………………………………………10分 又ACICC1?C，AC?面ACC1A1， CC1?面ACC1A1，
所以BD?面ACC1A1. ……………………………………………………………………………12分 又因为P?CC1,CC1?面ACC1A1,所以P?面ACC1A1，又因为A1?面ACC1A1，
所以A1P?面ACC1A1,所以BD?A1P． ………………………………………14分
17．解：（1）设eP半径为r，则AB?4(2?r)， 所以eP的周长2?r?BC?216?4(2?r)2， ………………………………………4分
1616，故半径的取值范围为(0,]. …………………………………6分 eP22??4??422（2）在（1）的条件下，油桶的体积V??r?AB?4?r(2?r)， ……………………………8分
162设函数f(x)?x(2?x),x?(0,2]，
??4164?， 所以f?(x)?4x?3x2，由于 2??43所以f?(x)?0在定义域上恒成立， 故f(x)在定义域上单调递增，
16即当r?2时，体积取到最大值. ………………………………………13分
??41616]，当r?2答：eP半径的取值范围为(0,2时，体积取到最大值. ………………14分
??4??4解得 r?
18.解：（1）由当PF2?x轴时x0?1，可知c?1， …………………………………………2分
1e2将x0?1，y0?e代入椭圆方程得2?2?1（※），
abc1112222?1， 而e??，b?a?c?a?1，代入（※）式得2?22aa(a?1)aax2?y2?1.…………………………………………4分 解得a?2，故b?1，∴椭圆C的方程为2uuuruuur??1?x1??(x0?1)?x1???x0???1（2）方法一：设A(x1,y1)，由AF，故?， 1??F1P得??y??yy???y00?1?1(??x0???1)2?(??y0)2?1（＃）代入椭圆的方程得， ………………………………………8分
222x0x01222?y0?1得y0?1?，代入（＃）式得(?x0???1)2?2?2(1?x0)?2， 又由2222化简得3??2??1?2?(??1)x0?0，即(??1)(3??1?2?x0)?0，显然??1?0，
1∴3??1?2?x0?0，故??.……………………………………………………………12分
3?2x011162???同理可得u?，故????， 23?2x03?2x03?2x09?4x0322
2. ………………………………………16分 3方法二：由点A，B不重合可知直线PA与x轴不重合，故可设直线PA的方程为x?my?1，
当且仅当x0?0时取等号，故???的最小值为
?x2??y2?122联立?2，消去x得(m?2)y?2my?1?0（☆），
?x?my?1?设A(x1,y1)，则y1与y0为方程（☆）的两个实根，
m?2m2?2?1?1y?由求根公式可得y0,1?，故，则，……………8分 yy?101m2?2(m2?2)y0m2?2
2x02?y0?1， 将点P(x0,y0)代入椭圆的方程得2x?1代入直线PA的方程得x0?my0?1，∴m?0，
y0uuuruuury111????y??y??由AF得，故 ??FP101122x?1y0(m?2)y0[(0)2?2]y20y0111???.…………………………………………12分 212(x0?1)2?2y03?2x20(x0?1)?2(1?x0)2
11162???，故????， 23?2x03?2x03?2x09?4x032当且仅当x0?0时取等号，故???的最小值为. ………………………………………16分
31注：（1）也可设P(2cos?,sin?)得??，其余同理.
3?22cos?11（2）也可由??6运用基本不等式求解???的最小值.
同理可得u???19．解：（1）∵b2?4，且数列?bn?是“M?q?数列”， ∴q?故数列?bn?是等差数列，公差为b2?b1?3，
b3?b27?4b?b??1，∴n?1n?1，∴bn?1?bn?bn?bn?1，………………………2分
b2?b14?1bn?bn?1故通项公式为bn?1?(n?1)?3，即bn?3n?2. ………………………………………4分
13n??得b2???，b3?4?3??7，故??1. 2211方法一：由bn?1?2Sn?n?1得bn?2?2Sn?1?(n?1)?1，
2211两式作差得bn?2?bn?1?2bn?1?，即bn?2?3bn?1?，
22（2）由bn?1?2Sn?
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