2018年高考数学一模试卷(理科)

②a＞0时，aex+2＞0，

∴x∈（﹣∞，﹣1）时，G′（x）＜0，G（x）递减， x∈（﹣1，+∞）时，G′（x）＞0，G（x）递增， ∴G（x）极小值=G（﹣1）=﹣＜0，

∵G（0）=1＞0，∴x∈（﹣1，+∞）时，G（x）有唯一零点， x＜﹣1时，ax＜0，则ex＜，∴axex＞∴G（x）＞∵△=

，

+（x+1）2=x2+（2+）x+1， ﹣4×1×1=

+

＞0，

∴?t1，t2，且t1＜t2，当x∈（﹣∞，t1），（t2，+∞）时， 使得x2+（2+）x+1＞0，

取x0∈（﹣∞，﹣1），则G（x0）＞0，则x∈（﹣∞，﹣1）时，G（x）有唯一零点，

即a＞0时，函数G（x）有2个零点；

③a＜0时，G′（x）=a（x+1）（ex﹣（﹣））， 由G′（x）=0，得x=﹣1或x=ln（﹣），

若﹣1=ln（﹣），即a=﹣2e时，G′（x）≤0，G（x）递减，至多1个零点； 若﹣1＞ln（﹣），即a＜﹣2e时，G′（x）=a（x+1）（ex﹣（﹣））， 注意到y=x+1，y=ex+都是增函数，

∴x∈（﹣∞，ln（﹣））时，G′（x）＜0，G（x）是减函数， x∈（ln（﹣），﹣1）时，G′（x）＞0，G（x）递增， x∈（﹣1，+∞）时，G′（x）＜0，G（x）递减， ∵G（x）极小值=G（ln（﹣））=ln2（﹣）+1＞0， ∴G（x）至多1个零点；

若﹣1＜ln（﹣），即a＞﹣2e时，

x∈（﹣∞，﹣1）时，G′（x）＜0，G（x）是减函数，

x∈（﹣1，ln（﹣））时，G′（x）＞0，G（x）递增， x∈（ln（﹣），+∞）时，G′（x）＜0，G（x）递减， ∵G（x）极小值=G（﹣1）=﹣＞0， ∴G（x）至多1个零点；

综上，若函数G（x）有2个零点， 则参数a的范围是（0，+∞）；

（ii）由（i）得：函数G（x）有2个零点，则参数a的范围是（0，+∞）， x1，x2是G（x）的两个零点，则有：

，即

，即

=

=﹣，

∵F（x）=x1≠x2，

，则F（x1）=F（x2）＜0，且x1＜0，x1≠﹣1，x2＜0，x2≠﹣1，

由（Ⅰ）知，当x∈（﹣∞，﹣1）时，F（x）是减函数，x∈（﹣1，+∞）时，F（x）是增函数，

令m＞0，F （=1+m）﹣F（﹣1﹣m）=再令φ（m）=则φ′（m）=

e2m+1=e2m﹣＞0，

﹣1，

（

e2m+1），

∴φ（m）＞φ（0）=0，又＞0，

m＞0时，F（﹣1+m）﹣F（﹣1﹣m）＞0恒成立， 即F（﹣1+m）＞F（﹣1﹣m）恒成立，

令m=﹣1﹣x1＞0，即x1＜﹣1，有F（﹣1+（﹣1﹣x1））＞F（﹣1﹣（﹣1﹣x1）），

即F（﹣2﹣x1）＞F（x1）=F（x2），

∵x1＜﹣1，∴﹣2﹣x1＞﹣1，又F（x1）=F（x2），必有x2＞﹣1