bn?2?f(x)sinn?xdx,n?1,2,3,?,则S(?1)等于
102(A)?1 2
(B)?1 41(C)
41(D)
2(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式A?0,则A中 (A)必有一列元素全为0 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(B)必有两列元素对应成比例 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合
?2z(1)设z?f(2x?y)?g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导,g(u,v)具有连续二阶偏导数,求.
?x?y(2)设曲线积分?xy2dx?y?(x)dy与路径无关,其中?(x)具有连续的导数,且?(0)?0,计算
c(1,1)(0,0)?xy2dx?y?(x)dy的值.
(3)计算三重积分
???(x?z)dv,其中?是由曲面z??x2?y2与z?1?x2?y2所围成的区域.
四、(本题满分6分)将函数f(x)?arctan五、(本题满分7分)设f(x)?sinx?1?x展为x的幂级数. 1?x?x0(x?t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).
?x??1?cos2xdx在区间(0,??)内有且仅有两个不同实根. 0e七、（本题满分6分） 问?为何值时,线性方程组
六、（本题满分7分）证明方程lnx?x1?x3??
4x1?x2?2x3???2
6x1?x2?4x3?2??3 有解,并求出解的一般形式.
八、（本题满分8分） 假设?为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明
A1(1)为A?1的特征值. (2)为A的伴随矩阵A*的特征值.
??九、（本题满分9分） 设半径为R的球面?的球心在定球面x2?y2?z2?a2(a?0)上,问当R为何值时,球面?在定球面内部的那部分的面积最大?
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)已知随机事件A的概率P(A)?0.5,随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率P(B|A)?0.8,则和事件A?B的概率P(A?B)=____________.
(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.
(3)若随机变量?在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2??x?1?0有实根的概率是____________.
十一、（本题满分6分） 设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)为2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z?2X?Y?3的概率密度函数.
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) x??t?2 (1)过点M(1,2?1)且与直线 y?3t?4垂直的平面方程是_____________. z?t?1 (2)设a为非零常数,则lim(x??x?ax)=_____________. x?a
(3)设函数f(x)? 10
x?1x?1,则f[f(x)]=_____________.
(4)积分
?20dx?e?ydy的值等于_____________.
x22(5)已知向量组α1?(1,2,3,4),α2?(2,3,4,5),α3?(3,4,5,6),α4?(4,5,6,7),
则该向量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)是连续函数,且F(x)??(A)?e?xf(e?x)?f(x) (C)e?xf(e?x)?f(x)
e?xxf(t)dt,则F?(x)等于
(B)?e?xf(e?x)?f(x) (D)e?xf(e?x)?f(x)
(2)已知函数f(x)具有任意阶导数,且f?(x)?[f(x)]2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f(n)(x)是 (A)n![f(x)]n?1 (C)[f(x)]2n
?
(B)n[f(x)]n?1 (D)n![f(x)]2n
)1 (3)设a为常数,则级数?[sin(na?]2nnn?1(A)绝对收敛 (C)发散
(B)条件收敛 (D)收敛性与a的取值有关
(4)已知f(x)在x?0的某个邻域内连续,且f(0)?0,lim(A)不可导
f(x)?2,则在点x?0处f(x)
x?01?cosx(B)可导,且f?(0)?0
(D)取得极小值
(C)取得极大值
(5)已知β1、β2是非齐次线性方程组AX?b的两个不同的解,α1、α2是对应其次线性方程组AX?0的基础解析,k1、
k2为任意常数,则方程组AX?b的通解(一般解)必是
β1?β2 2β?β2(C)k1α1?k2(β1?β2)?1
2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
1ln(1?x)(1)求?dx.
0(2?x)2(A)k1α1?k2(α1?α2)?β1?β2 2β?β2(D)k1α1?k2(β1?β2)?1
2(B)k1α1?k2(α1?α2)?
?2z(2)设z?f(2x?y,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数,求.
?x?y(3)求微分方程y???4y??4y?e?2x的通解(一般解).
四、(本题满分6分) 求幂级数?(2n?1)xn的收敛域,并求其和函数.
n?0?五、(本题满分8分) 求曲面积分I?yzdzdx?2dxdy 其中S是球面x2?y2?z2?4外侧在z?0的部分.
??S六、（本题满分7分） 设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)?f(b).证明在(a,b)内至少存在一点?,使得f?(?)?0.
七、（本题满分6分） 设四阶矩阵
?1?100??2?01?10??0?,C??B???001?1??0????0001??0134?213?? 且矩阵A满足关系式A(E?C?1B)?C??E 021??002?其中E为四阶单位矩阵,C?1表示C的逆矩阵,C?表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.
22八、（本题满分8分） 求一个正交变换化二次型f?x12?4x2?4x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3成标准型.
力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于.求变力F对质点P所作的功.
2?九、（本题满分8分）
质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变
???
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
1(1)已知随机变量X的概率密度函数f(x)?e?x,???x???
2则X的概率分布函数F(x)=____________.
(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率
P(AB)=____________.
2ke?2(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即P{X?k}?,k?0,1,2,?,则随机变量
k!Z?3X?2的数学期望E(Z)=____________.
十一、（本题满分6分） 设二维随机变量(X,Y)在区域D:0?x?1,y?x内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z?2X?1的方差D(Z).
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
x?1?t2d2y(1)设 ,则2=_____________.
dxy?cost(2)由方程xyz?
x2?y2?z2?2所确定的函数z?z(x,y)在点(1,0,?1)处的全微分dz=_____________.
(3)已知两条直线的方程是l1:_____________.
x?1y?2z?3x?2y?1z??;l2:??.则过l1且平行于l2的平面方程是10?1211(4)已知当x?0时,(1?ax)?1与cosx?1是等价无穷小,则常数a=_____________.
123?5?2(5)设4阶方阵A???0??00?100??,则A的逆阵A?1=_____________. 01?2??011?20二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)曲线y?1?e?x1?e2?x2
2?(A)没有渐近线 (C)仅有铅直渐近线 (B)仅有水平渐近线
(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线
(2)若连续函数f(x)满足关系式f(x)??(A)exln2 (C)ex?ln2
?n?1
?n?1
tf()dt?ln2,则f(x)等于 02 (B)e2xln2 (D)e2x?ln2
?n?1(3)已知级数?(?1)n?1an?2,?a2n?1?5,则级数?an等于 (A)3
(C)8
(B)7 (D)9
(4)设D是平面xoy上以(1,1)、(?1,1)和(?1,?1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则
??(xy?cosxsiny)dxdy等于
D(A)2(C)4??cosxsinydxdy
D1
(B)2??xydxdy
D1??(xy?cosxsiny)dxdy
D1(D)0
(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC?E,其中E是n阶单位阵,则必有 (A)ACB?E (C)BAC?E
? (B)CBA?E (D)BCA?E
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求lim(cosx)2. ?x?0
?(2)设n是曲面2x2?3y?z?6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数u?226x2?8y2?在点P处沿方向nz的方向导数.
(3)
???(x?2?y?z)dv,其中?是由曲线
2y2?2z绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z?4所围城的立体. x?0四、(本题满分6分) 过点O(0,0)和A(?,0)的曲线族y?asinx(a?0)中,求一条曲线L,使沿该曲线O从到A的积分
?(1?y)dx?(2x?y)dy的值最小.
L3
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