2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(1)

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析

一、选择题(每小题6分，共36分)

1．(2020年全国高中数学联赛)删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2020项是

(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049

22

2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx+ay=ab的图形是

yyyyOxOxOxOxA.2

3．过抛物线y=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于

16816(A) (B) (C) 3 (D) 83

333

5?2????4．若x∈[－ ，－ ]，则y=tan(x+ )－tan(x+ )+cos(x+ )的最大值是

12336612111112

(A) 2 (B) 2 (C) 3 (D) 3

5665

B.C.D.二．填空题(每小题9分，共54分)

32

7．不等式|x|－2x－4|x|+3<0的解集是 ．

x2y2

8．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△

94

PF1F2的面积等于 ．

2

9．已知A={x|x－4x+3<0，x∈R}，

B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}

若A?B，则实数a的取值范围是 ．

35

10．已知a，b，c，d均为正整数，且logab=，logcd=，若a－c=9，则b－d= ．

2411．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的

四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．

12． 设Mn={(十进制)n位纯小数0.－a1a2…an|ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，

SnTn 是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则lim= ．

n→∞Tn

五、(本题满分20分)

15．一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A?刚好与点A重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A?取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．

加试题

(10月12日上午10:00?12:00)

一、（本题50分）

过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间．在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC． 求证：∠DBQ=∠PAC．

二、（本题50分）

设三角形的三边长分别是正整数l，m，n．且l>m>n>0．

?3??3??3?

已知?4?=?4?=?4?，其中{x}=x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角

?10??10??10?

lmn形周长的最小值．

三、（本题50分）

12由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q+q+1，l≥q(q+1)2+1，

2

q≥2，q∈N．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形)．

2020年全国高中数学联赛解答

第一试

一、选择题(每小题6分，共36分)

1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2020项是

(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 【答案】C

22

【解析】45=2025，46=2116．

在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2020－1980=23项．由2025+23=2048．知选C．

3．过抛物线y=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于

16816 (A) (B) (C) 3 (D) 83

333

【答案】A

【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y==2

p4

k3

4434416

上，即AB中点为(，)，中垂线方程为y=－(x－)+，令y=0，得点P的坐标为．

333333

16

∴ PF=．选A．

3

5?2????4．若x∈[－ ，－]，则y=tan(x+)－tan(x+)+cos(x+)的最大值是

123366

12111112

(A) 2 (B) 2 (C) 3 (D) 3

5665

【答案】C

2??5?????【解析】令x+=u，则x+=u+，当x∈[－，－]时，u∈[－，－]，

63212346

y=－(cotu+tanu)+cosu=－

2??+cosu．在u∈[－，－]时，sin2u与cosu都单调递sin2u46

11?增，从而y单调递增．于是u=－时，y取得最大值3，故选C．

66

二．填空题(每小题9分，共54分)

32

7．不等式|x|－2x－4|x|+3<0的解集是 ．

【答案】(－3，－

3

5－15－1

)∪(，3)． 22

2

【解析】即|x|－2|x|－4|x|+3<0，?(|x|－3)(|x|－

5－15+1

)(|x|+)<0．?|x|<22