－
5+15－1，或<|x|<3． 22∴ 解为(－3，－
5－15－1
)∪(，3)． 22
9．已知A={x|x－4x+3<0，x∈R}，
B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}
若A?B，则实数a的取值范围是 ．
【答案】－4≤a≤－1．
【解析】A=(1，3)；
又，a≤－2
1－x2
1x+5
∈(－1，－)，当x∈(1，3)时，a≥ －7∈(5－7，－4)．
42x
2
∴ －4≤a≤－1．
35
10．已知a，b，c，d均为正整数，且logab=，logcd=，若a－c=9，则b－d= ．
24【答案】93
325423452422
【解析】a=b，c=d，设a=x，b=x；c=y，d=y，x－y=9．(x+y)(x－y)=9．
22235
∴ x+y=9，x－y=1，x=5，y=4．b－d=5－2=125－32=93．
11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则
E此圆柱的高等于 ．
FHG【答案】2+8
【解析】如图，ABCD是下层四个球的球心，EFGH是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH在平面ABCD上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD绕其中心旋转45?而得．设E的射影为N，则
4
4
DNAMBCMN=2－1．EM=3，故EN2=3－(2－1)2=22．∴ EN=8．所求圆柱的高=2+8．
12． 设Mn={(十进制)n位纯小数0.－a1a2…an|ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，
4
SnTn 是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则lim= ．
n→∞Tn【答案】
1 18n－1
【解析】由于a1，a2，…，an－1中的每一个都可以取0与1两个数，Tn=2．
n－2
在每一位(从第一位到第n－1位)小数上，数字0与1各出现2次．第n位则1出现n－1
2次．
n－2n－2－n∴ Sn=2?0.11…1+2?10．
Sn111
∴ lim=?=． n→∞Tn2918
四、(本题满分20分)
1
14．设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是实数)对应的
2不共线的三点．证明：曲线
4224
Z=Z0cost+2Z1costsint+Z2sint (t∈R)
与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．
【解析】曲线方程为：Z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+cs4
int)
2242222
∴ x=costsint+sint=sint(cost+sint)=sint．(0≤x≤1) y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1－x)2+2b(1－x)x+cx2
2
即 y=(a－2b+c)x+2(b－a)x+a (0≤x≤1)． ①
若a－2b+c=0，则Z0、Z1、Z2三点共线，与已知矛盾，故a－2b+c?0．于是此曲线为轴与x轴垂直的抛物线．
AB中点M：+(a+b)i，BC中点N：+(b+c)i．
1131
与AC平行的中位线经过M(，(a+b))及N(，(b+c))两点，其方程为
4242
11
423142
13
4(a－c)x+4y－3a－2b+c=0．(≤x≤)． ②
44令 4(a－2b+c)x+8(b－a)x+4a=4(c－a)x+3a+2b－c．
2
即4(a－2b+c)x+4(2b－a－c)x+a－2b+c=0．由a－2b+c?0，得
2
4x+4x+1=0， 131
此方程在[，]内有惟一解： x=．
44211
以x=代入②得， y=(a+2b+c)．
2411
∴ 所求公共点坐标为(，(a+2b+c))．
24
2
加试题
(10月12日上午10:00?12:00)
一、（本题50分）
过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间．在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC． 求证：∠DBQ=∠PAC．
分析：由∠PBC=∠CDB，若∠DBQ=∠PAC=∠ADQ，则?BDQ∽?DAQ．反之，若?BDQ∽?DAQ．则本题成立．而要证?BDQ∽?DAQ，只要证=BDDQ即可． ADAQ
二、（本题50分）
设三角形的三边长分别是正整数l，m，n．且l>m>n>0．
?3??3??3?
已知?4?=?4?=?4?，其中{x}=x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角
?10??10??10?
lmn形周长的最小值．
?3??3??3?
【解析】当3、3、3的末四位数字相同时，?4?=?4?=?4?．
?10??10??10?
lmnlmn即求满足3?3≡3( mod 10)的l、m、n．∴ 3(3－1)≡0 (mod 10)．(l－n>0)
n4l－n4m－n4
但 (3，10)=1，故必有3≡1(mod 10)；同理3≡1(mod 10)．
x4
下面先求满足3≡1(mod 10)的最小正整数x．
4414
∵ ?(10)=10??=4000．故x|4000．用4000的约数试验：
25
lmn4nl－n4
∵ x=1，2，时3≡∕1(mod 10)，而3≡1(mod 10)，∴ x必须是4的倍数；
x2202
∵ x=4，8，12，16时3≡∕1(mod 10)，而3≡1(mod 10)，∴ x必须是20的倍数；
x31003
∵ x=20，40，60，80时3∕≡1(mod 10)，而3≡1(mod 10)，∴ x必须是100的倍数；
x45004
∵ x=100，200，300，400时3∕≡1(mod 10)，而3≡1(mod 10)．
x4
即，使3≡1(mod 10)成立的最小正整数x=500，从而l－n、m－n都是500的倍数， 设l－n=500k，m－n=500h，(k，h∈N*，k>h)．
由m+n>l，即n+500h+n>n+500k，?n>500(k－h)≥500，故n≥501．
x4
取n=501，m=1001，l=1501，即为满足题意的最小三个值． ∴ 所求周长的最小值=3003．
三、（本题50分）
12由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q+q+1，l≥q(q+1)2+1，
2
q≥2，q∈N．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形)．
现设任一点连的线数≤n－2．且设b0＝q+2≤n－2．且设图中没有四边形．于是当i≠j时，
Bi与Bj没有公共的点对，即|Bi∩Bj|≤1(0≤i，j≤n－1)．记B0＝V\\B0，则由|Bi∩B0|≤1，
－－－
得|Bi∩B0|≥bi－1(i＝1，2，…，n－1)，且当1≤i，j≤n－1且i≠j时，Bi∩B0与Bj∩B0无公共点对．从而
－
n－1－－
B0中点对个数≥∑(Bi∩B0中点对个数)．即
i＝1n－12 n－1
－C2 ≥∑C≥C2 n－b0i＝1|Bi∩B0|i∑＝1bi－1
1n－1211n－12n－1
＝∑ (bi－3bi+2)≥[(∑bi)－3∑bi+2(n－1)](由平均不等式)
2i＝12n－1i＝1i＝111122
＝[(2l－b0)－3(2l－b0)+2(n－1)]＝[(2l－b0)－3(n－1)(2l－
2n－12(n－1)
b0)+2(n－1)2]
12
＝(2l－b0－n+1)(2l－b0－2n+2)(2l≥q(q+1)+2＝(n－1)(q+1)+2)
2(n－1)1
≥[(n－1)(q+1)+2－b0－n+1][(n－1)(q+1)+2－b0－2n+2]
2(n－1)
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