训练目标 解题策略 1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，则点M，N分别为A1C1，A1B的中点．
会应用定理、性质证明直线与平面平行、平面与平面平行. (1)熟练掌握平行的有关定理、性质；(2)善于用分析法、逆推法寻找解题突破口，总结辅助线、辅助面的作法.
(1)证明：MN∥平面BB1C1C；
(2)若CM⊥MN，求三棱锥M－NAC的体积．
2.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，PA⊥平面ABCD，E，F分别为AD，PA的中点，点Q是BC上一个动点．
(1)当Q是BC的中点时，求证：平面BEF∥平面PDQ； (2)当BD⊥FQ时，求
BQ
的值． QC
3．如图，在四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE＝2ED.
(1)求证：平面PCD⊥平面PBC； (2)求证：PB∥平面AEC.
4．如图(1)，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC，如图(2)．
→→
(1)当BE＝1时，是否在折叠后的AD上存在一点P，且AP＝λPD，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；
(2)设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥A－CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．
答案精析
1．(1)证明 连接A1B，BC1，则点M，N分别为A1C1，A1B的中点，所以MN为△A1BC1的一条中位线，MN∥BC1，MN?平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C， 所以MN∥平面BB1C1C.
(2)解 设点D，E分别为AB，AA1的中点，AA1＝a，
则CM2
＝a2
＋1，MN2
＝1＋a2＋4a2＋82
a2a2＋204＝4，CN＝4＋5＝4
，
由CM⊥MN，得CM2＋MN2＝CN2，解得a＝2， 又NE⊥平面AA1C1C，NE＝1，
∴V1112
三棱锥M－NAC＝V三棱锥N－AMC＝3S△AMC·NE＝3×2×2×2×1＝3.
所以三棱锥M－NAC的体积为
23
. 2．(1)证明 ∵E，Q分别是矩形ABCD的对边AD，BC的中点， ∴ED＝BQ，ED∥BQ，∴四边形BEDQ是平行四边形， ∴BE∥DQ.
又BE?平面PDQ，DQ?平面PDQ，∴BE∥平面PDQ， 又点F是PA的中点，∴EF∥PD，
∵EF?平面PDQ，PD?平面PDQ，∴EF∥平面PDQ， ∵BE∩EF＝E，BE，EF?平面BEF， ∴平面BEF∥平面PDQ. (2)解 连接AQ，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴PA⊥BD.
∵BD⊥FQ，PA∩FQ＝F，PA，FQ?平面PAQ，∴BD⊥平面PAQ，∵AQ?平面PAQ，∴AQ⊥BD，
在矩形ABCD中，由AQ⊥BD，得△AQB与△DBA相似， ∴AB2＝AD·BQ，
又AB＝1，AD＝2，∴BQ＝13BQ12，QC＝2，∴QC＝3
.
3．证明 (1)因为AD⊥CD，AD∥BC， 所以CD⊥BC，又PB⊥CD，PB∩BC＝B， PB?平面PBC，BC?平面PBC， 所以CD⊥平面PBC，又CD?平面PCD， 所以平面PCD⊥平面PBC. (2)连接BD交AC于点O，连接OE. 因为AD∥BC，所以△ADO∽△CBO， 所以DO∶OB＝AD∶BC＝1∶2，又PE＝2ED， 所以OE∥PB，又OE?平面AEC，PB?平面AEC， 所以PB∥平面AEC.
3
4．解 (1)存在P使得CP∥平面ABEF，且此时λ＝. 2证明如下：
3AP3→3→
当λ＝，即AP＝PD时，可知＝. 22AD5
MP3过点P作MP∥FD，与AF交于点M，连接ME，PC，如图所示，则有＝. FD5又FD＝5，故MP＝3. 又因为EC＝3，
所以MP＝EC，MP∥FD∥EC， 故四边形MPCE为平行四边形， 所以PC∥ME.
又CP?平面ABEF，ME?平面ABEF， 所以CP∥平面ABEF.
(2)因为平面ABEF⊥平面EFDC. 平面ABEF∩平面EFDC＝EF， 又AF⊥EF，所以AF⊥平面EFDC. 由BE＝x，得AF＝x(0 故V三棱锥A－CDF＝××2·(6－x)·x＝(6x－x2) 323
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