专题30 小题不小----比较大小
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高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧. （一）常用技巧和方法
1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为?0,1?和?1,???
（1）如果底数和真数均在?0,1?中，或者均在?1,???中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在?0,1?中，一个在?1,???中，那么对数的值为负数 例如：log30.5?0,log0.50.3?0,log23?0等
2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了 3、比较大小的两个理念：
（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：3,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同
1314123??3131412?,4??4141312?,5??5121612，从而只需比较底数的大小即可
?（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1?log22?log23?log24?2，进而可估计log23是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式：
?m?m（1）a??an?
??（2）logaM?logaN?logaMN logaM?logaN?loga（3）logaN?nlogaN?a?0,a?1,N?0?
nnM N 1
（4）换底公式：logab?logcb logca1nn （令c?b） logamN?logaN logbam进而有两个推论：logab?（二）利用函数单调性比较大小
1、函数单调性的作用：f?x?在?a,b?单调递增，则
?x1,x2??a,b?,x1?x2?f?x1??f?x2?(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、导数运算法则： （1）f?x?g?x??f'??''?x?g?x??f?x?g'?x?
?f?x??f'?x?g?x??f?x?g'?x?（2）? ??2gxgx??????3、常见描述单调性的形式 （1）导数形式：f'?x??0?f?x?单调递增；f'?x??0?f?x?单调递减
（2）定义形式：f?x1??f?x2?表示函数值的差与对应自变量的差同号，f?x1??f?x2???0：?0或?x1?x2????x1?x2则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：
（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点
（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整
（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较 （三）数形结合比较大小
1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系
（1）若f?x?关于x?a轴对称，且?a,???单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小
（2）若f?x?关于x?a轴对称，且?a,???单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距
2
离轴越近，其函数值越大
2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.
【经典例题】
例1.【2017课标1，理11】设x、y、z为正数，且2x?3y?5z，则（ ） A．2x<3y<5z 【答案】D
B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x
D．3y<2x<5z
【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的x,y,z，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示. 例2.【2017天津，文理】已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)?xf(x).若a?g(?log25.1)，b?g(20.8)，c?g(3)，则a，b，c的大小关系为（ ） （A）a?b?c 【答案】C
【解析】因为f(x)是奇函数且在R上是增函数，所以在x?0时，f(x)?0， 从而g(x)?xf(x)是R上的偶函数，且在[0,??)上是增函数，
（B）c?b?a
（C）b?a?c
（D）b?c?a
a?g(?log25.1)?g(log25.1)，
20.8?2，又4?5.1?8，则2?log25.1?3，所以即0?20.8?log25.1?3，
g(20.8)?g(log25.1)?g(3)，
所以b?a?c，故选C．
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
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?1??1?a例3.已知a,b,c均为正数，且2?log1a,???log1b,???log2c，则（ ）
?2??2?22A. a?b?c B. c?b?a C. c?a?b D. b?a?c 【答案】A
bc
【名师点睛】本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为y?log1x的形式，而第三个等
2?1?式也可变形为?????log2c?log1c，从而可以考虑视a,b,c分别为两个函数的交点.先作出y?log1x图
?2?22?1??1?象，再在这个坐标系中作出y?2x,y???,y????，比较交点的位置即可.
?2??2?例4.【2019届山东、湖北部分重点中学冲刺模拟（三）】已知系为（ ） A. 【答案】D
【解析】分析：借助于中间值1和0，利用各实数的范围可比较大小. 详解：
，
,
，
B.
C.
D.
，
,
,则
的大小关
xxc∴，故选D.
点睛：比较大小常用的方法有： （1）作差法（作商法）； （2）利用函数单调性比较大小； （3）借助中间变量比较大小.
4
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