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?x?y?2,?240x?80y?400,? 解：如下图所示，设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得?
?x?0,??y?0.而利润P=（3×400－240）x+（5×100－80）y =960x+420y（目标函数）， 可联立??x?y?2,得交点B（1.5，0.5）.
?240x?80y?400, 故当x=1.5，y=0.5时， Pmax=960×1.5+420×0.5=1650，
即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大.
7. 思路分析：可以把a、b分别看成横坐标和纵坐标，根据不等式组画出可行域，然后求目标函数9x－y的最大值和最小值. 解：问题转化为在约束条件???4?a?b?1,下，目标函数z=9a－b的取值范围.
??1?4a?b?5 画出可行域如下图所示的四边形ABCD及其内部. 由??a?b?1,?a?0,，解得?得点A（0，1）.
?4a?b??1?b?1当直线9a－b=t通过与可行域的公共点A（0，1）时， 使目标函数z=9a－b取得最小值为zmin=9×0－1=－1.
?a?3,?a?b??4, 由?解得?得点C（3，7）.
b?74a?b?5,??当直线9a－b=t通过与可行域的公共点C（3，7）时， 使目标函数z=9a－b取得最大值为zmax=9×3－7=20. ∴9a－b的取值范围是［－1，20］.
8. 思路分析：本题考查逆向思维、数形结合的思想方法，利用图形的特性和规律，解决数的问题或将图形信息转换成代数信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形问题转化为数量关系的讨论.
解：直线z=ax+y（a＞0）是斜率为－a，y轴上的截距为z的直线族，从题图可以看出，当－a小于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解是（1，4）；当－a大于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解是（5，2）；
只有当－a等于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，线段AC上的所有点都是最优解.直线AC的斜率为-
12，所以a=
12时，z的最大值为
12×1+4=
92.
9. 思路分析：本题可以使用线性规划的基本思路，像二元一次不等式所示的区域一样，我们仍然可以用“线定界，点定域”的方法来确定9x-16y+144≤0所表示的平面区域.
解：(1)将原点坐标代入9x-16y+144，其值为144>0，因此9x-16y+144≤0表示的平面区域如图所示的阴影部分，即
2
2
2
2
2
2
双曲线
y2x2-=1的含有焦点的区域.
9162
(2)设P(x，y)为该区域内任意一点，由上图可知，当P与双曲线的顶点(0，±4)重合时，|OP|取得最小值4.所以，x+y=|OP|=16.
2
2
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(3)取Q(2，0)，则直线PQ的斜率为k=
yx?2，其直线方程为y=k(x-2)，代入9x-16y+144=0得
22
(9-16k)x+64kx-64k+144=0，由Δ=0得k=±
2222
3510，
由图可知k≥
3510或k≤-
3510.
故所求
y35的取值范围是(-∞，- x?210］∪［
3510，+∞).
§3.4基本不等式
经典例题：
【 解析】 证法一 假设(1?a)b，(1?b)c，(1?c)a同时大于
1， 4∵ 1－a>0，b>0，∴
同理
(1?a)?b≥(1?a)b?211?， 42(1?b)?c1(1?c)?a133?，?.三个不等式相加得?，不可能，
2222221. 4∴ (1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同时大于证法二 假设(1?a)b?111，(1?b)c?，(1?c)a?同时成立， 444?1， 64∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴ (1?a)b(1?b)c(1?c)a211?(1?a)?a??， 即(1?a)a(1?b)b(1?c)c?. （*） 又∵ (1?a)a≤??24??6411同理(1?b)b≤，(1?c)c≤，
44∴(1?a)a(1?b)b(1?c)c≤
1与（*）式矛盾， 64故(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a不可能同时大于当堂练习：
14.
1.A; 2.B; 3.C; 4.D; 5.C; 6.A; 7.B; 8.C; 9.C; 10.C;11.
1; 12. 3600 ; 213. 2?1 ; 14. 对; 215．ab 16. 【 解析】
f(x1)?f(x2)?logax1?logax2?loga(x1x2),f(x1?x2x?x)?loga1． 22欢迎登录《100测评网》www.100ceping.com进行学习检测，有效提高学习成绩.
∵ xx21、x2?R?， ∴ x1x2?(x1?2)2． 当且仅当x1＝x2时，取“＝”号．
当a?1时，有loga(x1x1?x22)?loga(x2)． ∴ 12loga(x1x2)??loga(x1?x2)．1[log?logx1?x222ax1ax2]?loga(2)． 即
12[f(x)]?f(x1?x21)?f(x22)． 当0?a?1时，有logx2a(x1?x2)?logx1?a(2)2． 即
12[f(xx1?x21)?f(x2)]?f(2). 17. (1)??0,1??4?? (2)174 18．【 解析】 证明 由于不等式k?k(k?1)?k?(k?1)2k?12?2 对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,得到
1?2???n?a352n?1n?2?2???2 又因 1?2???n?(n?1)n2 以及32?52???2n?12?12[1?3?5???(2n?1)]?(n?1)22 2因此不等式n(n?1)?n?1?2?an?2对所有的正整数n都成立.
§3.5不等式单元测试
1.C; 2.A; 3.D; 4.C; 5.C; 6.D; 7.A; 8.D; 9.B; 10.A;11.
111a?b?a?b; 12.
(?1,12); (??,1];15．{x|?2?x?0,或0 16．解：原不等式等价于： x?2x2?17x?302x2?17x?30x2?8x?15?2?0?x2?8x?15?0?x2?8x?15?0 ?(x?6)(2x?5)(x?3)(x?5)?0?52?x?3或5?x?6 ∴原不等式的解集为[52,3)?(5,6] 13. 20 ; 14. 欢迎登录《100测评网》www.100ceping.com进行学习检测，有效提高学习成绩. 17．解：不等式 ax(a?1)x?2?1可化为?0． x?2x?2x?∵a?1，∴a?1?0，则原不等式可化为 21?a?0， x?22}； 1?a故当0当a当a?a?1时，原不等式的解集为{x|2?x??0时，原不等式的解集为?； ?0时，原不等式的解集为{x|2?x?2}． 1?a18．证明：法一（综合法） ?a?b?c?0， ?(a?b?c)2?0 a2?b2?c2?0 展开并移项得：ab?bc?ca??2?ab?bc?ca?0 法二（分析法） 要证ab即证a2?bc?ca?0，?a?b?c?0，故只要证ab?bc?ca?(a?b?c)2 ?b2?c2?ab?bc?ca?0， 1222也就是证[(a?b)?(b?c)?(c?a)]?0， 2而此式显然成立，由于以上相应各步均可逆，∴原不等式成立。 法三：?a?b?c?0，??c?a?b 222b23b2?ab?bc?ca?ab?(b?a)c?ab?(a?b)??a?b?ab??[(a?)?]?024?ab?bc?ca?0 222222法四：?a?b?2ab, b?c?2bc，c?a?2ca ?b2?c2?ab?bc?ca 2两边同时加上2(ab?bc?ca)得：(a?b?c)?3(ab?bc?ca) ?a?b?c?0， ∴ab?bc?ca?0 2219．解：设g(a)?x?(a?4)x?4?2a?(x?2)a?(x?2)， 则g(a)的图象为一直线，在a?[?1,1]上恒大于0，故有 ∴由三式相加得：a2 ?x2?5x?6?0?g(?1)?0，即?2，解得：x?1或x?3 ?g(1)?0x?3x?2?0??∴x的取值范围是(??,1)?(3,??) 20．解：设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界。依题意 x2y)?()2?25，（x?0,y?0） 42x2?y2?100的条件下，求S?xy的最大值。 问题转化为在x?0,y?0，4xx22法一：?S?xy?2??y?()?y?100， 22xx2?y2?100及x?0,y?0得：x?102,y?52 由?y和 24?Smax?100 得：(
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