1??n1??nn?nn?n?，解得Tn?当??0且??1时，?1???Tn?； ?21???1???1??当??1时，由③得Tn?1?2?3???n?1??n?n?n?1?2n2?n?；
2?n2?n,??1??2综上，数列?bn?的前n项和Tn??． nn1??n???,??0,??121?????1???【名师点睛】（1）本题主要考查数列前n项和公式，考查等差数列的通项的求法，考查错位相减求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
（2）数列?bn·cn?，其中?bn?是等差数列，?cn?是等比数列，则采用错位相减法.
1.数列求和，一般应从通项入手，若通项未知，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． 2.解决非等差、非等比数列的求和，主要有两种思路
(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减 来完成；
(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
1．数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,2．数列的分类 分类标准 按项的个数 名称 有穷数列 无穷数列 含义 项数有限的数列，如数列1，2，3，4，5，7，8，9，10 项数无限的数列，如数列1，2，3，4，… ,an,,简记为?an?．
递增数列 按项的变化趋势 递减数列 常数列 摆动数列 按项的有界性 有界数列 无界数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项，如数列1，3，5，7，9，… 从第2项起，每一项都小于它的前一项，如数列10，9，8，7，6，5，… 各项都相等的数列，如数列2，2，2，2，… 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如1，2，1，2 任一项的绝对值都小于某一正数，如－1，1，－1，1，－1，1，… 不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如2，4，6，8，10，… 3．数列的表示方法
（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况． （2）解析法：主要有两种表示方法，
①通项公式：如果数列?an?的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即an?f(n)．
②递推公式：如果已知数列?an?的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an?1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示．数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图．由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点． 4．数列的前n项和与通项的关系
数列的前n项和通常用Sn表示，记作Sn?a1?a2??S?an，则通项an??1．
S?S,n?2n?1?n若当n?2时求出的an也适合n?1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示． 5．等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d，可得an?dn?(a1?d)． 令p?d，q?a1?d，则an?pn?q，其中p，q为常数．
（1）当p?0时，(n,an)在一次函数y?px?q的图象上，数列{an}的图象是直线y?px?q上均匀分布的一群孤立的点，且当d?0时数列{an}为递增数列，当d?0时数列{an}为递减数列． （2）当p?0时，an?q，等差数列为常数列，数列{an}的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点． 6．等差数列的前n项和
首项为a1，末项为an，项数为n的等差数列{an}的前n项和公式：Sn=令p?n(a1?an)n(n?1) =na1?d．
22dd2，q?a1?，可得Sn?pn?qn，则 22①当p?0，即d?0时，Sn是关于n的二次函数，点(n,Sn)是函数y=px2?qx的图象上一系列孤立
的点；
②当p?0，即d?0时，Sn是关于n的一次函数(q?0，即a1?0)或常函数(q?0，即a1?0)，
点(n,Sn)是直线y?qx图象上一系列孤立的点．
我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题． 7．用前n项和公式法判定等差数列
等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列{an}的前n
2项和Sn?an?bn?c，那么当且仅当c?0时，数列{an}是以a?b为首项，2a为公差的等差数列；
当c?0时，数列{an}不是等差数列． 8．等差数列的常用性质
由等差数列的定义可得公差为d的等差数列?an?具有如下性质：
*（1）通项公式的推广：an?am?(n?m)d，m,n?N． *（2）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq(m,n,p,q?N)． *特别地，①若m?n?2p，则am?an?2ap(m,n,p?N)；
*②若m?n?t?p?q?r，则am?an?at?ap?aq?ar(m,n,p,q,t,r?N)．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即
a1?an?a2?an?1??ai?an?1?i?.
组成以md为公差的等差数列．
（3）下标成等差数列的项ak,ak?m,ak?2m,（4）数列?tan???(t,?是常数)是公差为td的等差数列．
（5）若数列?bn?为等差数列，则数列?tan??bn?(t,?是常数)仍为等差数列． （6）若ap?q,aq?p，则ap?q?0． 9．与等差数列各项的和有关的性质
利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质： 设等差数列?an?（公差为d）和?bn?的前n项和分别为Sn,Tn，
（1）数列{Sn1}是等差数列，首项为a1，公差为d．
2n,Smk?S(m?1)k,构成公差为k2d的等差数列．
（2）Sk,S2k?Sk,S3k?S2k,（3）若数列?an?共有2n项，则S偶?S奇?nd，
S奇a?n． S偶an?1S奇n?(S?nan,S偶?(n?1)an)． S偶n?1奇（4）若数列?an?共有2n?1项，则S奇?S偶?an，
S2n?1anS2m?12m?1am???（5），． T2n?1bnT2n?12n?1bn10．等比数列的性质
若数列?an?是公比为q的等比数列，前n项和为Sn，则有如下性质：
2*（1）若m?n?p?q，则aman?apaq；若m?n?2r，则aman?ar(m,n,p,q,r?N)．
推广：①a1an?a2an?1?aian?1?i?;②若m?n?t?p?q?r，则amanat?apaqar．
（2）若m,n,p成等差数列，则am,an,ap成等比数列． （3）数列??an?(??0)仍是公比为q的等比数列；
数列{11}是公比为的等比数列； anq数列?|an|?是公比为|q|的等比数列；
若数列?bn?是公比为q'的等比数列，则数列?anbn?是公比为qq'的等比数列． （4）ak,ak?m,ak?2m,ak?3m,成等比数列，公比为q．
2mk（5）连续相邻k项的和（或积）构成公比为q(或qk)的等比数列．
SnnSn1?qn?；当q??1时，?（6）当q?1时，． SmmSm1?qmmn（7）Sn?m?Sm?qSn?Sn?qSm．
（8）若项数为2n，则
S偶S奇?q，若项数为2n?1，则
S奇?a1?q． S偶
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