第一部分 高考层级专题突破 层级三 2个压轴大题 巧取高分 专题一 圆锥曲线中的综合问题 第三讲 圆锥曲线中的证明、存在性问题 课时跟踪检测(二十二) 圆锥曲线中的证明、存在性
问题
A卷
1．(2019·河南洛阳统考)已知圆M：(x－a)2＋(y－b)2＝9，圆心M在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，圆M过原点O且与C的准线相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)点Q(0，－1)，点P(与Q不重合)在直线l：y＝－1上运动，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AQO＝∠BQO.
解：(1)因为圆心M在抛物线C上，且圆M与抛物线C的准线相切，所以bp?pppp?
＝3－2，易知圆M过点?0，2?，又圆M过原点，所以b＝4，所以3－2＝4，解
??得p＝4，所以抛物线C的方程为x2＝8y.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(m，－1)，
11
因为C的方程为y＝8x2，所以y′＝4x，所以抛物线C在点A处的切线斜率1x1x21x1
为k＝4x1，切线PA的方程为y－y1＝4(x－x1)，即y－8＝4(x－x1)，化简得y＝121－x1＋x1x. 84
又切线PA过点P(m，－1)，
121故可得－1＝－8x1＋4x1m，即x21－2x1m－8＝0.
2同理可得x2－2x2m－8＝0，则x1，x2为x2－2mx－8＝0的两根，
所以x1＋x2＝2m，x1x2＝－8，
y1＋1y2＋1x2x21＋82＋8x1＋x2x1＋x22m－2m
所以kAQ＋kBQ＝x＋x＝8x＋8x＝8＋x·＝8＝0，
12121x2故∠AQO＝∠BQO.
x2y2
2．(2019·湖北宜昌葛洲坝中学高三月考)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)经过3??1，点A?，C的四个顶点构成的四边形面积为43. 2???
(1)求椭圆C的方程；
(2)E，F为椭圆上的两个动点，是否存在这样的直线AE，AF，使其满足：1①直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数；②线段EF的中点在直线x＝2上？若存在，求出直线AE和AF的方程；若不存在，请说明理由．
19?＋
?a24b2＝1，
解：(1)由已知得?ab＝23，
??a>b>0，解得a2＝4，b2＝3， x2y2
∴椭圆C的方程为＋＝1.
43
3
(2)由题意知，直线AE的斜率存在且不为0，设直线AE的方程为y－2＝k(xx2y2
－1)，代入4＋3＝1，得
(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4k2－12k－3＝0.(*) 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，且x＝1是方程(*)的根， 4k2－12k－3∴x1＝，
3＋4k2
4k2＋12k－3
用－k代替上式中的k，可得x2＝，
3＋4k2x1＋x24k2－31
故EF中点的横坐标为2＝2＝2，
4k＋33
解得k＝±2，
3333
∴直线AE，AF的方程分别为y＝2x，y＝－2x＋3或y＝－2x＋3，y＝2x.
B卷
x2y21
1．(2019·河北邯郸联考)如图，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为A，
a2b22，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为右焦点，直线y＝6x与椭圆C的交点到y轴2
的距离为7，过点B作x轴的垂线l，D为l上异于点B的一点，以BD为直径作圆E.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线AD与C的另一个交点为P，证明：直线PF与圆E相切．
c1
解：(1)由题可知a＝2，∴a＝2c，b2＝3c2. x2y2
设椭圆C的方程为4c2＋3c2＝1， x2y2??2＋2＝1，由?4c3c??y＝6x，
2c2
得|x|＝7＝7，∴c＝1，a＝2，b2＝3，
x2y2
故椭圆C的方程为4＋3＝1.
(2)证明：由(1)可得F(1,0)，B(2,0)设圆E的圆心为(2，t)(t≠0)，则D(2,2t)，圆E的半径为R＝|t|，
t
∴直线AD的方程为y＝2(x＋2)．
设过F与圆E相切的直线方程为x＝ky＋1， |2－kt－1|1－t2则＝|t|，整理得k＝2t，
1＋k2t?y＝
?2?x＋2?，1－t2
??x＝2ty＋1，
由?
得?6t
y＝??3＋t2.
6－2t2??x＝3＋t2，
?6－2t2?2?6t?2??2?2??3＋t??3＋t?又∵＋3＝1，
4∴直线PF与圆E相切．
x22
2．(2019·重庆一中高三月考)如图，直线m：tx－y－t＝0(t>0)与椭圆4＋y
2
＝1交于A，B两点，与y轴交于G点，C为弦AB的中点，直线l：x＝2t分别与直线OC和直线m交于D，E两点．
(1)求直线OC的斜率和直线OE的斜率之积；
(2)分别记△ODE和△OCG的面积为S1，S2，是否存在正数t，使得S1＝6S2？若存在，求出t的取值；若不存在，说明理由．
2
x21－x22
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由点差法可得：4＋y1－y22＝
x1＋x2y1－y22x3y310?4＋(y1＋y2)·＝0?4＋2y3·t＝0?kOC＝x＝－4t.
x1－x23
?x＝2t，t2
再联立?可求出E(2t，t)?k＝OE
2. ?y＝tx－t21
所以kOC·kOE＝－8.
x＝2t，??(2)假设这样的t存在，联立?1
y＝－?4tx?
1
?yD＝－2，在(1)问中已解得yE＝t2，
1?21?t?2t2＋1?
?t＋2?＝所以S△ODE＝S1＝2·2t·，
2??在直线m：y＝tx－t2中令x＝0得yG＝－t2. y＝tx－t2，??
再联立?1
y＝－?4tx?
－t24t3
?x3＝2，y3＝2，
4t＋14t＋1
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