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2019.5
专题检测（二十二） 第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”专练
x2y2
1.(高三·广东五校协作体诊断考试)若椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点
ab分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点F分成了3∶1的两段．
(1)求椭圆的离心率；
―→―→
(2)过点C(－1,0)的直线l交椭圆于不同两点A，B，且AC＝2CB，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程．
bb
c－?， 解：(1)由题意知，c＋＝3?2?2?所以b＝c，a2＝2b2， c
所以e＝＝
a
b?221－?＝?a?2. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝ky－1(k≠0)， ―→―→
因为AC＝2CB，所以(－1－x1，－y1)＝2(x2＋1，y2)， 即y1＝－2y2，
由(1)知，椭圆方程为x2＋2y2＝2b2.
?x＝ky－1，?由?222消去x， ?x＋2y＝2b?
①
得(k2＋2)y2－2ky＋1－2b2＝0， 2k所以y1＋y2＝2，
k＋2由①②知，y2＝－
2 ②
2k4k
，y1＝2， k＋2k＋2
11
因为S△AOB＝|y1|＋|y2|，
22|k|1
所以S△AOB＝3·2＝3·
2k＋2
＋|k||k|≤3·2
132
＝，
42·|k||k|
当且仅当|k|2＝2，即k＝±2时取等号，
此时直线l的方程为x－2y＋1＝0或x＋2y＋1＝0.
x2y2
2．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为
ab3
椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－. 4
(1)求椭圆C的方程；
―→―→
(2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求OP·OQ＋―→―→MP·MQ的取值范围．
解：(1)设T(x，y)，由题意知A(－4,0)，B(4,0)， 设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2， 则k1＝
yy
，k2＝. x＋4x－4
yy33
由k1k2＝－，得·＝－，
44x＋4x－4x2y2
整理得＋＝1.
1612
x2y2
故椭圆C的方程为＋＝1.
1612
(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
xy??16＋12＝1，联立方程?消去y，
??y＝kx＋2得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0. 所以x1＋x2＝－
16k32
，x1x2＝－2. 24k＋34k＋3
2
2
―→―→―→―→
从而，OP·OQ＋MP·MQ＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋－80k2－528x2)＋4＝＝－20＋2. 24k＋34k＋3
52―→―→―→―→所以－20＜OP·OQ＋MP·MQ ≤－.
3
―→―→―→―→
当直线PQ的斜率不存在时，OP·OQ＋MP·MQ的值为－20. 52―→―→―→―→
－20，－?. 综上，OP·OQ＋MP·MQ的取值范围为?3??
1
3．已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A(0,23)，离心率为.
2(1)求椭圆P的方程；
―→―→16
(2)是否存在过点E(0，－4)的直线l交椭圆P于点R，T，且满足OR·OT＝？若存7
在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
x2y2
解：(1)设椭圆P的方程为2＋2＝1(a>b>0)，
abc1
由题意得b＝23，e＝a＝，
2
∴a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，∴c2＝4，c＝2，a＝4， x2y2
∴椭圆P的方程为＋＝1.
1612
―→―→
(2)假设存在满足题意的直线l，易知当直线l的斜率不存在时，OR·OT<0，不满足题意．
故可设直线l的方程为y＝kx－4，R(x1，y1)，T(x2，y2)． ―→―→16∵OR·OT＝，
7∴x1x2＋y1y2＝
16. 7
y＝kx－4，??22由?x消去y， y
＋＝1??1612得(3＋4k2)x2－32kx＋16＝0， 由Δ>0得(－32k)2－64(3＋4k2)>0， 1解得k2>.①
4
32k16
∵x1＋x2＝， 2，x1x2＝3＋4k3＋4k2∴y1y2＝(kx1－4)(kx2－4)＝k2x1x2－4k(x1＋x2)＋16， 16k2128k21616故x1x2＋y1y2＝， 2＋2－2＋16＝73＋4k3＋4k3＋4k解得k2＝1.② 由①②解得k＝±1， ∴直线l的方程为y＝±x－4.
故存在直线l：x＋y＋4＝0或x－y－4＝0满足题意．
x2y24．(高三·云南11校跨区调研)已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为方程2x2－3x
ab＋1＝0的解，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最大值为23.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝－4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD把△DMN分为面积相等的两部分．
1
解：(1)方程2x2－3x＋1＝0的解为x1＝，x2＝1，
21
∵椭圆离心率e∈(0,1)，∴e＝，
2
??由题意得?ab＝23，
??a＝b＋c，
2
2
2
c1a＝2，
?a＝2，解得?
?b＝3，
x2y2
∴椭圆E的方程为＋＝1.
43
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(－4，n)，线段MN的中点为P(x0，y0)， 故2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2， 由(1)可得F(－1,0)， 则直线DF的斜率为kDF＝
n－0n
＝－，
3－4－?－1?
当n＝0时，直线MN的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN. 3y1－y2
当n≠0时，直线MN的斜率kMN＝n＝，
x1－x2∵点M，N在椭圆E上，
?∴?xy
?4＋3＝1，
2222x2y211＋＝1，43
整理得
?x1＋x2??x1－x2??y1＋y2??y1－y2?
＋＝0，
43
又2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2， x02y03y0n
∴＋·＝0，即＝－， 23nx04n即直线OP的斜率为kOP＝－，
4
n
又直线OD的斜率为kOD＝－，∴OD平分线段MN.
4综上，直线OD把△DMN分为面积相等的两部分．
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