唐山一中2017—2018学年度第二学期期中考试 高二年级 理科数学试卷
卷Ⅰ(选择题 共60分)
一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）
z?1．若
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A. a,b中只有一个为0 B. a,b至少一个为0 C. a,b全不为0 D. a,b至少有一个不为0
m?i1?i（m?R，i为虚数单位），在复平面上对应的点不可能位于 （ ）
222．用反证法证明“若a,b?R，a?b?0，则a,b全为0”时，假设正确的是（ ）
3.在含有3件次品的200件产品中，任意抽取5件，则至少2件是次品的取法种数 （ ） A．
23C3C198 B．
2332C3C197+C3C197 C．
14C5200-C3C197 D．
5C5200-C197
2?f(x)?x?2xf?(1)，则f?(?1)? （ ） f(x)f(x)4. 设函数的导函数为，且
A．0 B．?6 C．?3 D．?2
iP(X?i)?(i?1,2,3,4)2a5. 设随机变量X的分布列为，则
P(X?3)?
（ ）
2337A. 5 B. 5 C. 10 D. 10
6. 某厂生产的零件外直径
?:N?10，0.04?，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别
为10.3cm和9.3cm，则可认为 （ ）
A．上、下午生产情况均正常 B．上、下午生产情况均异常
C．上午生产情况正常，下午生产情况异常 D．上午生产情况异常,下午生产情况正常
1?7. 利用数学归纳法证明不等式：A. 2 项 B. 2kk?1111??L?n?n(n?2,n?N*)232?1的过程中，
由n?k变到n?k?1时，左边增加了 （ ）
项 C. k项 D. 1项
f(x)?8. 过函数
（ ）
x1?x图象上一点?2,?2?及邻近一点?2??x,?2??y?作割线，则当?x?0.25时割线的斜率为
149?A.5 B．5 C．1 D．5
9. 从1,2,???,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同取法共 （ ）
A．60种 B．65种
C．66种
D．68种
10. 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数
立的是 （ ） A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(?2) D．函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(2)
?y??1?x?f?(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成
11.某学校有6个活动小组报名参加4个地区的社会实践活动，每个小组必须选择一个地区且每个地区都有小组参加，若1组和2组不去同一地区，则不同的方案有 （ ） A．1320种 B．2160种 C．2400种 D．4320种
?f(x),f(x)?pfp(x)???0,???上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数?p,f(x)?p，则称函数12.设函数y?f(x)在
lnx?1f(x)?fp(x)ex，恒有fp(x)?f(x)，则下列结论正确的是 为f(x)的“p界函数”.若给定函数
（ ）
11A．p的最大值为e B．p的最小值为e C．p的最大值为2 D．p的最小值为2
卷Ⅱ(非选择题 共90分)
二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）
?421?13．
??x?x2?a??的展开式中常数项为19，则实数a的值为__________. f(x)????1?x2, ?1?x?1x214. 已知函数???e, x＞1，则??1f(x)dx=__________.
15. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障
1左、右两边下落的概率都是2，则小球落入A袋中的概率为__________.
16. 下列命题中，正确的命题的序号为__________.
①已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)?30,D(X)?20p?2,则3；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
③设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)1)?p(?1＜??0)?1，若P(?＞P，则2?p；
④某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X:B(10,0.8)，则当X?8时概率最大．
三．解答题（共6小题，计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. (本题满分10分)
设整数p?1,p?N?，用数学归纳法证明：当x??1且x?0时，
(1?x)p?1?px.
18.(本题满分12分)
已知函数
f(x)?x3?x?16. （1）求曲线y?f(x)在点
?2,?6?处的切线的方程；
（2）直线l为曲线y?f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.
球在下落碍物时，向
19.（本题满分12分）
2018年某省数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20
1名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是3，每次竞赛成绩达全区前20名与否
互相独立．
（1）求该学生进入省队的概率．
（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为?，求?的分布列及?的数学期望. 20．（本题满分12分） 已知二次函数
f?x???x2+8xl,l，直线
l2:y??t2?8t（其中0?t?2,t为
常数），所围成的
.若直线12与函数封闭图形如阴影所示.
l1:x?2f?x?的图象以及
l2,y轴与函数
f?x?的图象
（1）求阴影面积S关于t的函数（2）已知函数
21.(本题满分12分)
S?t?；
g?x??S?x??alnx在其定义域上单调递减，求a的范围.
1f(x)?(1?)x(n?N?,n?1,x?N?).n 设函数 1(1?)xn的展开式中二项式系数最大的项； （1）当x?6时，求
f(2x)?f(2)?f?(x)?2（2）（A普班、实验班做）?x?R，证明（f(x)是f(x)的导函数）；
1an?(1?)?(a?1)n??kk?1（B英才班做）是否存在a?N,使得恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；
若不存在，请说明理由.
22.(本题满分12分) 已知函数
nkf(x)?lnx?ax； f(x)的单调性；
（1）讨论
2x?x?ex,xf(x)（2）当函数有两个不相等的零点12时,证明: 12.
唐山一中2017—2018学年度第二学期期中考试
高二年级 理科数学答案
一．选择题：1-4: DDBB；5-8: CCAB；9-12: CDAB.
?二．填空题：13. ?1；14. 2；15. 0.75；16. ②③④. 三．解答题：
17. 用数学归纳法证明:
①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立. ………………………………2分 ②假设p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx成立. ……………………………4分 当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,
所以p=k+1时,原不等式也成立. …………………………………………………9分 综合①②可得,当x>-1且x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px均成立. …10分 18. 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32. ………………………4分
?e2?e(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，
∴直线l的方程为:y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16， 又∵直线l过点(0，0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，…………………10分 整理得，x30＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．…………………………12分 19. （1）记“该生进入省队”的事件为事件A，其对立事件为A，
P(A)=C112322112131则
4(3)(3)(3)?(3)4?243P(A)= ∴243……………………4分 （2）该生参加竞赛次数?的可能取值为2，3，4，5．…………………………6分 P(??2)?(1)213?9
P(??3)?C112142(3)(3)(3)?27，
P(??4)?C112212283()(3)(3)?(3)43?81,
P(??5)?C1123324(3)(3)?81．……………………………………………………10分
故?的分布列为：
? 2 3 4 5 P 1428329 27 81 81 E（?）?32681．……………………………………………………………………12分
20.（1）由得
∵0≤t≤2，∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（
由定积分的几何意义知：
………………………………………………………………6分
g(x)?S(x)?alnx??4x3?10x2?16x?40?alnx(2)33，定义域为
（0，2] g?(x)??4x2?20x?16?a?4x3?20x2?16x?ax?x………………………………8分
因为y?g(x)单减,则?4x3?20x2-16x?a?0恒成立，即
a?4x3?20x2?16xmin 3设h(x)?4x?20x2?16x0,5?135?13，y?h(x)(在
3)(,2]是增函数，在3是减函数，a??16…………………………………………………………………12分
21. （1）展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
…2分
（2）（普班、实验班）
所以
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