实验4 LTI系统的频域分析
一、 实验目的
1. 加深对LTI系统频率响应基本概念的掌握和理解 2. 学习和掌握LTI系统频率特性的分析方法
二、 实验原理
1. 连续时间系统的频率响应
系统的频率响应定义为系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，即
H(?)??h(?)e?j??d?若LTI连续时间系统的单位冲激响应为h(t)，输入信号为
????x(t)，根据系统的时域分析可知系统的零状态响应为y(t)?x(t)?h(t)，对等式两边分别求傅里叶变换，根据时域卷积定理可以得到Y(?)?X(?)H(?)。
因此，系统的频率响应还可以由系统的零状态响应和输入的傅里叶变换之比
得到H(?)?Y(?)/X(?)。
H(?)反映了LTI连续时间系统对不同频率信号的响应特性，是系统内在固有
的特性，与外部激励无关。H(?)又可以表示为H(?)=|H(?)|ej?(?)，其中|H(?)|称为系统的幅度响应，?(?)称为系统的相位响应。
当虚指数信号ej?t作用于LTI系统时，系统的零状态响应y(t)仍为同频率的虚指数信号，即y(t)=ej?tH(?)。
对于由下述微分方程描述的LTI连续时间系统?any(t)??bmx(m)(t)，其频
(n)n?0m?0NM率响应H(j?)可以表示为有理多项式
Y(?)bM(j?)M?bM?1(j?)M?1?...?b1j??b0 H(?)??NN?1X(?)aN(j?)?aN?1(j?)?...?a1j??a0MATLAB的信号处理工具箱提供了专门的函数freqs，用来分析连续时间系统的频率响应，该函数有下列几种调用格式：
[h,w]=freqs(b,a) 计算默认频率范围内200个频率点上的频率响应的取样值，这200个频率点记录在w中。
h=freqs(b,a,w) b、a分别为表示H(j?)的有理多项式中分子和分母多项式的系数向量，w为频率取样点，返回值h就是频率响应在频率取样点上的数值向量。 [h,w]=freqs(b,a,n) 计算默认频率范围内n个频率点上的频率响应的取样值，这n个频率点记录在w中。
freqs(b,a,…) 这种调用格式不返回频率响应的取样值，而是以对数坐标的方式绘出系统的幅频响应和相频响应。 2. 离散时间系统的频率响应
LTI离散时间系统的频率响应定义为单位抽样响应h(t)的离散时间傅里叶变换。H(e)??h(n)e?j?n对于任意输入信号x(n)，输入与输出信号的离散时间傅
j?????里叶变换有如下关系Y(ej?)?H(ej?)X(ej?)因此，系统的频率响应还可以表示为
H(ej?)=Y(ej?)/X(ej?)
当系统输入信号为x(n)?ej?n时，系统的输出
y(n)?ej?n?h(n)?k????e??j?(n?k)h(k)?ej?nH(ej?)
虚指数信号通过LTI离散时间系统后信号的频率不变，信号的幅度由系统频率响应的幅度值确定，所以H(ej?)表示了系统对不同频率信号的衰减量。
一般情况下离散系统的频率响应H(j?)是复值函数，可用幅度和相位表示。
H(ej?)=|H(ej?)|ej?(?)，其中|H(ej?)|称为系统的幅度响应，?(?)称为系统的相位响应。若LTI离散系统可以由如下差分方程描述?aiy(n?i)??bjx(n?j)，其频
i?0j?0NM率响应H(ej?)可以表示为有理多项式
Y(ej?)b0?b1e?j??...?bMe?jM? H(e)??X(ej?)a0?a1e?j??...?aNe?jN?j?MATLAB的信号处理工具箱提供了专门的函数freqz，用来分析离散时间系统的频率响应，该函数有下列几种调用格式：
[H,w]=freqz(b,a,n) b、a分别为有理多项式分子中和分母多项式的系数向量，返回值H是频率响应在0到pi范围内n个频率等分点上的数值向量，w包含了这n个频率点。
[H,w]=freqz(b,a,n,`whole`)计算0~2?n个频率点上的频率响应的取样值，这n个频率点记录在w中。
H=freqz(b,a,w) w为频率取样点，计算这些频率点上的频率响应的取样值。 freqz(b,a,…) 这种调用格式不返回频率响应的取样值，而是直接绘出系统的幅频响应和相频响应。
三、 实验内容
1.已知一个RLC电路构造的二阶高通滤波器，其中R?（1）计算该电路系统的频率响应及高通截止频率 解：由电路图
L,L?0.4H,C?0.05F 2C11?1(j?)2y(t)Rj?L 高通截止频率为 7.07 H(?)???211x(t)(j?)?10(j?)?50?1?1j?CRj?L（2）利用MATLAB绘制幅度响应和相位响应曲线，比较系统的频率特性与理论计算的结果是否一致。 解：
b=[1 0 0]; a=[1 10 50]; [H,w]=freqs(b,a); subplot(211); plot(w,abs(H));
set(gca,'xtick',[0;10]);
set(gca,'ytick',[0 0.4 0.707 1]); xlabel('\\omega(rad/s)');
ylabel('Magnitude'); title('|H(j\\omega)|'); grid on; subplot(212); plot(w,angle(H));
set(gca,'xtick',[0;10]); xlabel('\\omega(rad/s)'); ylabel('Phase');
title('|phi(\\omega)|'); grid on;
|H(j?)|1Magnitude0.7070.40010?(rad/s)|phi(?)|43Phase210010?(rad/s)由图像，系统的频率特性与理论计算的结果一致。 2.已知一个RC电路
（1）对不同的RC值，用MATLAB画出系统的幅度响应曲线|H(?)|，观察实验结果，分析RC电路具有什么样的频率特性（高通、低通、带通或带阻）？系统的频率特性随着RC值的改变，有何变化规律？
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