方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别） 红球个数 3 2 1 0 实际付款 半价 7折 8折 原价
（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率； （Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？ 【分析】（Ⅰ）先求出顾客获得半价优惠的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率．
（Ⅱ）分别求出方案一和方案二和付款金额，由此能比较哪一种方案更划算． 【解答】解：（Ⅰ）记顾客获得半价优惠为事件A，则P（A）=两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率： P=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣
）2=
．…（5分）
=
，
（Ⅱ）若选择方案一，则付款金额为320﹣50=270元．
若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取160，224，256，320． P（X=160）=P（X=224）=P（X=256）=P（X=320）=则E（X）=160×
=+224×
， +256×
+320×
=240．
，
==
， ，
∵270＞240，
∴第二种方案比较划算．…（12分）
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用． 5．（2016?武汉校级模拟）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图． （1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据， 年级名次
1～50 951～1000
是否近视 近视 41 32 不近视 9 18
能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
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（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：
0.05 0.025 0.010 0.005 P（K2≥k） 0.10
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 ．
【分析】（1）设各组的频率为fi（i=1，2，3，4，5，6），由已知得后四组频数依次为27，24，21，18，由此能求出估计全年级视力在5.0以下的人数．
（2）求出K2，由此能求出在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．
（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望． 【解答】解：（1）设各组的频率为fi（i=1，2，3，4，5，6）， 由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，…（1分） 因为后四组的频数成等差数列，
所以后四组频数依次为27，24，21，18…（2分） 所以视力在5.0以下的频率为：故全年级视力在5.0以下的人数约为
=0.82，
…（3分）
（2）
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．…（6分）
（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，…（7分）
，
，
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，
，
∴X的分布列为： X 0 P
…（11分） X的数学期望
…（12分）
1
2
3
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型机随机变量概率分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用． 6．（2016?海南校级模拟）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为k，当k≥85时，产品为一级品；当75≤k＜85时，产品为二级品；当70≤k＜75时，产品为三级品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（以下均视频率为概率）
A配方的频数分布表 B配方的频数分布表 指指标标
[75，[80，[85，[90，[75，[80，[85，[90，[75，值值
80） 85） 90） 95） 80） 85） 90） 95） 80） 分 分组 组 频频
10 30 40 20 5 10 15 40 30 数 数
（1）若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C，求事件C的概率P（C）；
（2）若两种新产品的利润率与质量指标值k满足如下关系：y=（其中
＜t＜），从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？
【分析】（1）先求出P（抽中二级品）=，由此能求出事件C的概率P（C）．
（2）分别求出A的分布列，E（A）和B的分布列E（B），由此能求出从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大．
【解答】解：（1）P（抽中二级品）=，P（没抽中二级品）=，
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P（C）=1﹣（）3=（3）A的分布列为： y t 5t2 P 0.6 0.4
∴E（A）=0.6t+2t2 B的分布列为： y t 5t2 t2 P 0.7 0.25 0.05 ∴E（B）=0.7t+1.3t2 ∵＜t＜， ∴E（A）﹣E（B）=
．
t（t﹣）＞0，
∴E（A）较大，投资A． 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一． 7．（2016?兴庆区校级二模）袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数． （1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）； （2）求甲取到白球的概率． 【分析】（1）由已知先出白子个数，进而可得随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）； （2）记事件A=“甲取到白球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1=“甲第1次取球时取出白球”；A2=“甲第2次取球时取出白球”；A3=“甲第3次取球时取出白球”．利用互斥事件概率加法公式，可得：甲取到白球的概率． 【解答】解：设袋中白球共有x个，则依题意知：
=，即
=，
即 x2﹣x﹣6=0，解之得x=3，（x=﹣2舍去）．…（1分）
（1）袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，5． P（x=1）=
=，
P（x=2）==，
P（x=3）==，
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