小学+初中+高中+努力=大学
第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例
———————————————————————————————— [考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
1．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与
b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 3．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.
结论 模 数量积 夹角 几何表示 |a|＝a·a 坐标表示 |a|＝x1＋y1 22a·b＝|a||b|cos θ a·bcos θ＝ |a||b|a·b＝0 |a·b|≤|a||b| a·b＝x1x2＋y1y2 cos θ＝x1x2＋y1y2 222x2＋y·x＋y1122a⊥b |a·b|与|a||b|的关系 x1x2＋y1y2＝0 |x1x2＋y1y2|≤x1＋y1·x2＋y2 2222
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．( ) (2)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.( ) 小学+初中+高中+努力=大学
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(3)由a·b＝a·c及a≠0不能推出b＝c.( )
→→→→
(4)在四边形ABCD中，AB＝DC且AC·BD＝0，则四边形ABCD为矩形. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
→?13?→?31?
2．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA＝?，?，BC＝?，?，则∠ABC＝( )
?22??22?A．30° C．60°
B．45° D．120°
→?1→→→→→3333?→?31?
A [因为BA＝?，?，BC＝?，?，所以BA·BC＝＋＝.又因为BA·BC＝|BA442?22??22?→3
||BC|cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC2＝30°.故选A.]
3．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( ) A．－1 C．1
B．0 D．2
2
C [法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a＝2，a·b＝－3， 从而(2a＋b)·a＝2a＋a·b＝4－3＝1. 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，
从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.]
4．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
－2 [由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.] 5．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________. 22－ [∵a⊥b，∴a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，∴x＝－.] 33
2
平面向量数量积的运算 (1)(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为( )
51111A．－ B. C. D.
8848
→→
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→→
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；→→
DE·DC的最大值为________．
→→→
(1)B (2)1 1 [(1)如图所示，AF＝AD＋DF.
又D，E分别为AB，BC的中点，
→1→→1→1→3→
且DE＝2EF，所以AD＝AB，DF＝AC＋AC＝AC，
2244→1→3→
所以AF＝AB＋AC.
24→→→
又BC＝AC－AB，
→→?1→3→?→→则AF·BC＝?AB＋AC?·(AC－AB)
4??21→→1→23→23→→
＝AB·AC－AB＋AC－AC·AB 22443→21→21→→＝AC－AB－AC·AB. 424
→→
又|AB|＝|AC|＝1，∠BAC＝60°， →→31111
故AF·BC＝－－×1×1×＝.故选B.
42428
(2)法一：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，
C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)，所以DE·CB＝
(t，－1)·(0，－1)＝1.
→→→→
→→→
因为DC＝(1,0)，所以DE·DC＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1， →→
故DE·DC的最大值为1.
→→→→
法二：由图知，无论E点在哪个位置，DE在CB方向上的投影都是CB＝1，所以DE·CB＝
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|CB|·1＝1，
→→
当E运动到B点时，DE在DC方向上的投影最大，即为DC＝1， →→→
所以(DE·DC)max＝|DC|·1＝1.]
[规律方法] 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．
2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量．(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．
→→→
[变式训练1] (1)已知AB＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB在CD方向上的投影为 ( )
32A．－
2C.32
2
B．－35
D．35
(2)(2017·南宁二次适应性测试)线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边
BC，AC边上的高，则AD·BE＝( )
3
A．－
233C．－
2
3
B. 2D.33
2
→→
→
(1)C (2)A [(1)因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又AB＝(2,1)，所以向→→
量AB在CD方向上的投影为
→→
→→→AB·CD1532|AB|cos〈AB，CD〉＝＝＝.
→252|CD|
→→→→→→→→
(2)由等边三角形的性质得|AD|＝|BE|＝3，〈AD，BE〉＝120°，所以AD·BE＝|AD||BE→→3?1?|cos〈AD，BE〉＝3×3×?－?＝－，故选A.]
2?2?
?角度1 平面向量的模 小学+初中+高中+努力=大学
平面向量数量积的性质
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