小学+初中+高中+努力=大学
(1)(2017·合肥二次质检)已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|＝2且a⊥(a－2b)，则|b|＝( )
A.2 C．22
B．2 D．4
(2)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________. (1)B (2)5 [(1)由a⊥(a－2b)得a·(a－2b)＝|a|－2a·b＝0.又∵|a－b|＝2，∴|a－b|＝|a|－2a·b＋|b|＝4，则|b|＝4，|b|＝2，故选B.
(2)∵|a|＝1，∴可令a＝(cos θ，sin θ)， ∵λa＋b＝0.
2
2
2
2
2
??λcos θ＋2＝0，∴???λsin θ＋1＝0，
2
cos θ＝－，??λ即?1
sin θ＝－.??λ
2
由sinθ＋cosθ＝1得λ＝5，得|λ|＝5.] ?角度2 平面向量的夹角
(1)若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a的夹角为( )
A.C.π
62π 3
B.D.π 35π 6
22
(2)已知平面向量a，b的夹角为120°，且a·b＝－1，则|a－b|的最小值为
( )
A.6 C.2
B.3 D．1
(1)B (2)A [(1)由|a＋b|＝|a－b|两边平方得，a·b＝0，由|a－b|＝2|a|两边平方得，3a＋2a·b－b＝0，故b＝3a，则(a＋b)·a＝a＋a·b＝a，设向量a＋b与a的夹角
2
2
2
2
2
2
a＋baa21π
为θ，则有cos θ＝＝2＝，故θ＝.
|a＋b||a|2a23
|a|＋|b|
(2)由题意可知：－1＝a·b＝|a|·|b|cos 120°，所以2＝|a|·|b|≤.即
2|a|＋|b|≥4，|a－b|＝a－2a·b＋b＝a＋b＋2≥4＋2＝6，
所以|a－b|≥6.] ?角度3 平面向量的垂直
(2016·山东高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，
则实数t的值为________． 小学+初中+高中+努力=大学
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小学+初中+高中+努力=大学
－5 [∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)． 又a⊥(ta＋b)，则a·(ta＋b)＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5.]
a·b[规律方法] 1.求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．
|a|·|b|
2．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.
3．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a＝a·a＝|a|或|a|＝a·a. (2)|a±b|＝2
2
a±b2
＝a±2a·b＋b.
2222
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x＋y.
平面向量在平面几何中的应用 已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y).2分
∵D是BC的中点，∴D?0，?.4分
?2?→→
又∵AE＝2EB，即(x－a，y) ＝2(－x，a－y)， ∴?
?x－a＝－2x，?
??y＝2a－2y，
?
a?
a2
解得x＝，y＝a.8分
33
→?a?a??∵AD＝?0，?－(a,0)＝?－a，?， 2??2??→
→?a2?
OE＝CE＝?，a?，
?33?
→→aa2∴AD·CE＝－a×＋×a
3231212
＝－a＋a＝0.10分
33→→
∴AD⊥CE，即AD⊥CE.12分
[规律方法] 平面几何问题中的向量方法 小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(如本例)．
(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．
→→
[变式训练2] 在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB的长为________. 【导学号：31222151】
1
[设AB的长为a(a>0)， 2
→→→→→→→1→因为AC＝AB＋AD，BE＝BC＋CE＝AD－AB，
2
→→→→?→1→?1→→1→2→2121
于是AC·BE＝(AB＋AD)·?AD－AB?＝AB·AD－AB＋AD＝－a＋a＋1，
2?2224?1211
故－a＋a＋1＝1，解得a＝，
2421所以AB＝.]
2
[思想与方法]
1．计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义，解题要灵活选用恰当的方法，与图形有关的不要忽视数量积几何意义的应用．
2．求向量模的常用方法：利用公式|a|＝a，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． 4．两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b?a·b＝0. 小学+初中+高中+努力=大学
2
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小学+初中+高中+努力=大学
[易错与防范]
1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有
a·b<0，反之不成立．
3．在求向量夹角时，注意其取值范围[0，π]．
课时分层训练(二十六)
平面向量的数量积与平面向量应用举例
A组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
→→→
1．在边长为1的等边△ABC中，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝( ) 【导学号：31222152】
3
A．－
23
C. 2
B．0 D．3
3?1??1??1?A [依题意有a·b＋b·c＋c·a＝?－?＋?－?＋?－?＝－.] 2?2??2??2?
2．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( ) A．－8 C．6
B．－6 D．8
D [法一：因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2)． 因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8.
法二：因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b＝3－2m＋3＋(－2)＝16－2m＝0，解得m＝8.]
→→→→→
3．平面四边形ABCD中，AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则四边形ABCD是 ( ) 【导学号：31222153】
A．矩形 C．菱形
B．正方形 D．梯形
2
2
2
→→→→→C [因为AB＋CD＝0，所以AB＝－CD＝DC，所以四边形ABCD是平行四边形．又(AB－→
AD)·AC＝DB·AC＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．]
→
4．(2016·安徽黄山二模)已知点A(0,1)，B(－2,3)，C(－1,2)，D(1,5)，则向量AC在
→→→
小学+初中+高中+努力=大学
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