小学+初中+高中+努力=大学 →
BD方向上的投影为( )
A.213
1313 13
213B．－
13D．－
13 13
C.
→→
D [∵AC＝(－1,1)，BD＝(3,2)，
→→
AC·BD－1×3＋1×2－113→→→→→
∴AC在BD方向上的投影为|AC|cos〈AC，BD〉＝＝＝＝－.22
→133＋213|BD|故选D.]
5．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( ) A.C.π
32π 3
B.D.π 25π 6
C [∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0， ∴2|a|＋a·b＝0，
即2|a|＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∵|b|＝4|a|，∴2|a|＋4|a|cos〈a，b〉＝0， 12π
∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝.] 23二、填空题
6．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则m＝________.
－2 [∵|a＋b|＝|a|＋|b|＋2a·b＝|a|＋|b|， ∴a·b＝0.
又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.]
→→→→→→
7．在△ABC中，若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的________(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”)．
→→→→垂心 [∵OA·OB＝OB·OC， →→→
∴OB·(OA－OC)＝0， →→
∴OB·CA＝0，
∴OB⊥CA，即OB为△ABC底边CA上的高所在直线． →→→→
同理OA·BC＝0，OC·AB＝0，故O是△ABC的垂心．] 小学+初中+高中+努力=大学
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
小学+初中+高中+努力=大学
→→→→
8．如图4-3-1，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则→→
AB·AD的值是________．
【导学号：31222154】
图4-3-1
→→→→1→
22 [由题意知：AP＝AD＋DP＝AD＋AB，
4→
BP＝BC＋CP＝BC＋CD＝AD－AB，
1→3→→?→1→??→3→?→21→→3→2
所以AP·BP＝?AD＋AB?·?AD－AB?＝AD－AD·AB－AB，即2＝25－AD·AB－
4??4?216216?
→→→
3→4→3→
4
→→
×64，解得AB·AD＝22.]
三、解答题
9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．
?1?[解] 由已知得，a·b＝4×8×?－?＝－16.2分 ?2?
(1)①∵|a＋b|＝a＋2a·b＋b＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝43.4分 ②∵|4a－2b|＝16a－16a·b＋4b＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a－2b|＝163.6分
(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，8分 ∴ka＋(2k－1)a·b－2b＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直.12分
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； →→→
(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值． →→
[解] (1)由题设知AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，则 →
2
2
2
2
2
2
2
2
AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4).3分
→→→→
所以|AB＋AC|＝210，|AB－AC|＝42.
→→→
小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
故所求的两条对角线长分别为42，210.5分 →
(2)由题设知OC＝(－2，－1)， →
AB－tOC＝(3＋2t,5＋t).8分
→→→
由(AB－tOC)·OC＝0，
得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0， 从而5t＝－11，所以t＝－
11
.12分 5
B组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2016·河南商丘二模)已知a，b均为单位向量，且a·b＝0.若|c－4a|＋|c－3b|
→
＝5，则|c＋a|的取值范围是 ( )
A．[3，10] C．[3,4]
B．[3,5] D．[10，5]
B [∵a，b均为单位向量，且a·b＝0， ∴设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)， 代入|c－4a|＋|c－3b|＝5，得
x－
2
＋y＋x＋y－
222
＝5.
即(x，y)到A(4,0)和B(0,3)的距离和为5. ∴c的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段， 又|c＋a|＝
x＋
2
＋y，表示M(－1,0)到线段AB上点的距离，
2
最小值是点(－1,0)到直线3x＋4y－12＝0的距离， |－3－12|
∴|c＋a|min＝＝3.
5又最大值为|MA|＝5，
∴|c＋a|的取值范围是[3,5]．故选B.]
2．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
2 [∵a＝(1,2)，b＝(4,2)， ∴c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)． 又∵c与a的夹角等于c与b的夹角， 小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
∴cos〈c，a〉＝cos〈c，b〉， ∴∴
c·ac·bc·ac·b＝，即＝， |c||a||c||b||a||b|m＋4＋4m＋44m＋16＋4m＋4
5
＝20
，
∴
5m＋88m＋20
＝，∴10m＋16＝8m＋20，∴m＝2.] 520
→→→→3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－c)BA·BC＝cCB·CA. 【导学号：31222155】
(1)求角B的大小；
→→
(2)若|BA－BC|＝6，求△ABC面积的最大值． [解] (1)由题意得(2a－c)cos B＝bcos C.
根据正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， 所以2sin Acos B＝sin(C＋B)，2分
即2sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0， 所以cos B＝2π
，又B∈(0，π)，所以B＝.5分 24
→→→
(2)因为|BA－BC|＝6，所以|CA|＝6，7分
即b＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a＋c－2ac≥2ac－2ac＝(2－2)ac(当且仅当a＝c时取等号)， 即ac≤3(2＋2)，9分 1
故△ABC的面积S＝acsin B≤
2即△ABC的面积的最大值为
2＋2
，
2
2
32＋3
.12分 2
小学+初中+高中+努力=大学
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