2019-2020年高三数学一轮复习第十一篇计数原理概率随机变量及其分布第7节二项分布与正态分布基丛点练理 

2019-2020年高三数学一轮复习第十一篇计数原理概率随机变量及

其分布第7节二项分布与正态分布基丛点练理

【选题明细表】 知识点、方法 条件概率 独立事件的概率 二项分布 正态分布 题号 1,14 3,10 2,5,6,9,11,12,15 4,7,8,13,16 1.投掷两枚骰子,已知有一枚点数是5的条件下,则另一枚点数也是5的概率是( C ) (A) (B) (C) (D)

解析:法一 基本事件的全体Ω中含有36个基本事件,记事件A为一枚点数是5,则事件A含有的基本事件是(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),

(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6)共11个,P(A)=,记事件B为另一枚点数是5,则AB就是事件两枚点数都是5,基本事件只有一个,故P(AB)=,故P(B|A)==. 法二 把基本事件的全体减缩为Ω′={(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),

(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6)},显然另一枚点数也是5的概率为.故选C. 2.已知随机变量ξ+η=8,若ξ～B(10,0.6),则E(η),D(η)分别是( D ) (A)6,2.4 (B)6,5.6 (C)2,5.6 (D)2,2.4 解析:E(ξ)=6,D(ξ)=2.4, E(η)=E(8-ξ)=8-E(ξ)=2,

2

D(η)=D(8-ξ)=(-1)D(ξ)=2.4. 故选D.

3.若事件A,B,C相互独立,且P(A)=0.25,P(B)=0.50,P(C)=0.40,则P(A+B+C)等于( D ) (A)0.80 (B)0.15 (C)0.55 (D)0.775 解析:A,B,C相互独立,则有 P(A+B+C)=1-P()P()P()

=1-[(1-0.25)(1-0.50)(1-0.40)] =1-0.225 =0.775. 故选D.

4.(xx宁德高三5月质检)已知某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1～N1(90,86)和ξ2～N2(93,79),则以下结论正确的是( C )

(A)第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高,也比第二次成绩稳定 (B)第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高,但不如第二次成绩稳定 (C)第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高,也比第一次成绩稳定 (D)第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高,但不如第一次成绩稳定

2

解析:根据ξ～N(μ,σ)中μ,σ的意义可知选项C正确.

5.某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为( A )

(A) (B) (C) (D)

解析:击中目标的次数X～B(3,0.6),至少有两次击中目标为事件{X≥2}, P(X≥

3

2)=P(X=2)+P(X=3)=·+()=.故选A.

6.将一枚硬币连掷5次,如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率,那么k的值为( C )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:根据题意,本题为独立重复试验,由概率公式得: k5-kk+14-k()×()=()×(), 解得k=2.故选C.

7.(xx江西省八所重点中学高三联考)在某次数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布(100,σ2

)(σ>0),若ξ在(80,120)内的概率为0.8,则落在(0,80)内的概率为( B ) (A)0.05 (B)0.1 (C)0.15 (D)0.2

2

解析:因为ξ服从正态分布N(100,σ), 所以曲线的对称轴是直线x=100,

因为ξ在(80,120)内取值的概率为0.8, 所以ξ在(80,100)内取值的概率为0.4, 又ξ在(0,100)内取值的概率为0.5,

所以ξ在(0,80)内取值的概率为0.5-0.4=0.1.故选B.

2

8.(xx山西省康杰中学等四校四三次联考)设随机变量X～N(3,6),若P(X>m)=0.3,则P(X>6-m)= .

解析:根据正态分布的定义可知对称轴为x=3,而m与6-m关于x=3对称,所以P(X>m)=P(X<6-m)=0.3,故P(X>6-m)=1-P(X<6-m)=1-0.3=0.7. 答案:0.7

9.一次数学测验由25道选择题构成,答正确得4分,不作答或答错不得分,某学生选对任一题的概率为0.6,则此学生在这一次测验中的成绩的方差是 .

解析:设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为ξ,所得的分数为η,则η=4ξ,由题意知ξ～B(25,0.6),

则E(ξ)=25×0.6=15,D(ξ)=25×0.6×0.4=6,

2

E(η)=E(4ξ)=4E(ξ)=60,D(η)=D(4ξ)=4×D(ξ)=96, 所以该学生在这一次测验中的成绩的方差是96. 答案:96

10.甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与. (1)求甲投球2次,至少命中1次的概率;

(2)若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中2次的概率.

解:设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B,则P(A)=,P(B)=. (1)法一 由题设知 P(A)=,P()=.

故甲投球2次至少命中1次的概率为1-P( )=, 法二 由题设知 P(A)=,P()=.

故甲投球2次至少命中1次的概率为 P(A)P()+P(A)P(A)=.

(2)由题设知P(A)=,P()=, P(B)=,P()=.

甲、乙两人各投球2次,共命中2次有三种情况:甲、乙两人各命中一次;甲命中2次,乙2次均不命中;甲2次均不命中,乙命中2次.概率分别为 P1=P(A)P()P(B)P()=,

P2=P(AA)P( )=, P3=P( )P(BB)=.

所以甲、乙两人各投球2次,共命中2次的概率为 P=P1+P2+P3=++=.

能力提升练(时间:15分钟)

11.已知ξ～B(n,),η～B(n,),且E(ξ)=15,则E(η)等于( B ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 解析:因为ξ～B(n,),所以E(ξ)=, 又E(ξ)=15,则n=30.所以η～B(30,), 故E(η)=30×=10.故选B.

12.设一次试验的成功率为p,进行100次独立重复试验,则成功次数X标准差的最大值是( B )

(A) (B)5 (C)25 (D)50

解析:设成功次数为随机变量X,由题意可知X～B(100,p), 则=≤10×=5,等号当且仅当p=时成立.故选B.

2

13.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于 . 解析:P(ξ<4)=0.8,则P(ξ>4)=0.2, 又图象关于直线x=2对称,

P(ξ<0)=P(ξ>4)=0.2,则P(0<ξ<4)=0.6, P(0<ξ<2)=0.3. 答案:0.3

14.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张,将其中一张放在验钞机上检验发现是假钞,则两张都是假钞的概率是 . 解析:设事件A表示“抽到的两张都为假钞”;事件B表示“抽到的两张中至少有一张为假钞”, 则所求的概率为P(A|B), 又P(AB)=P(A)=, P(B)=,

所以P(A|B)====. 答案:

15.(xx商丘二模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球自由下落,小球在下落的过程中,将遇到黑色障碍物3次,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到障碍物时,向左、右两边下落的概率分别是,.

(1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率;

(2)在容器的入口处依次放入4个小球,记ξ为落入B袋中的小球个数,求ξ的分布列和数学期望.

解:(1)记“小球落入A袋中”为事件M,“小球落入B袋中”为事件N,则事件M的对立事件为事件N.而小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,

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故P(M)=()+()=+=, 从而P(N)=1-P(M)=1-=.

(2)显然,随机变量ξ的所有可能取值为0,1, 2,3,4. 且ξ～B(4,).

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故P(ξ=0)=()×()=,

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P(ξ=1)=()×()=,

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P(ξ=2)=()×()=,

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P(ξ=3)=()×()=,

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P(ξ=4)=()×()=. 则ξ的分布列为 ξ P 0 1 2 3 4 故ξ的数学期望为E(ξ)=4×=.

16.某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168,16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间,将测量结果按如下方式分成6组:第1组[160,164),第2组[164,168),…,第6组[180,184],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况; (2)求这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数;

(3)在这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人中任意抽取2人,将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为ξ,求ξ的数学期望. 参考数据:

2

若ξ～N(μ,σ),则

P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.682 6, P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.954 4, P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=0.997 4.

解:(1)由频率分布直方图,经过计算该校高三年级男生平均身高为(162×+166×+170×+174×+178×+182×)×4= 168.72 cm,

高于全市的平均值168 cm.

(2)由频率分布直方图知,后3组频率为(0.02+0.02+0.01)×4=0.2,人数为0.2×50=10,即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10. (3)因为P(168-3×4<ξ≤168+3×4)=0.997 4, 所以P(ξ≥180)==0.001 3, 0.001 3×100 000=130.

所以全市前130名的身高在180 cm以上(含180 cm),这50人中180 cm以上(含180 cm)的有2人.

随机变量ξ可取0,1,2,于是 P(ξ=0)==,P(ξ=1)==, P(ξ=2)==,

所以E(ξ)=0×+1×+2×=.

精彩5分钟

1.(xx九江三模)已知袋中装有标号为1,2,3的三个小球,从中任取一个小球(取后放回),连取三次,则取得的小球的最大标号为3的概率为( B ) (A) (B) (C) (D)

解题关键:所求概率即为三次独立重复试验至少发生一次的概率.

解析:根据题意每次取球时取到标号为3的小球的概率为,取球三次看作三次独立重复试验,每次取得标号为3的小球记为事件A,则所求的随机事件的概率即为事件A至少发生一次的

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概率,所以所求的概率为1-(1-)=.故选B.

2.根据历年气象资料统计,某地四月份刮东风的概率是,刮东风又下雨的概率是,则该地四月份在刮东风条件下下雨的概率是( C ) (A) (B) (C) (D)

解题关键:利用条件概率公式求解.

解析:记“某地四月份刮东风”为事件A,“某地四月份下雨”为事 件B,

则P(A)=,P(AB)=, 所以P(B|A)==. 故选C.